第11章压杆的稳定性分析与设计

工程力学工程静力学与材料力学马志涛第11章压杆的稳定性分析与设计第11章压杆的稳定性分析与设计压杆第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学4压杆第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学5桁架中的压杆第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学6液压缸顶杆第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学7高压输电线路保持相间距离的受压构件第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学8压杆稳定性实验第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学9脚手架中的压杆第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学10薄壁圆筒因压力导致屈曲及褶皱第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学11钢制箱梁底部因受压失稳引发桥体倒塌第11章压杆的稳定性分析与设计大连大学12钢管脚手架的失稳倒塌第11章压杆的稳定性分析与设计▪细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效(failurebyloststability)，又称为屈曲失效(failurebybuckling)。▪什么是受压杆件的稳定性，什么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。▪本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形稳定与不稳定的概念以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法——安全因数法。大连大学13第11章压杆的稳定性分析与设计▪11.1弹性平衡稳定性的基本概念▪11.2细长压杆的临界载荷－欧拉临界力▪11.3长细比的概念三类不同压杆的判断▪11.4压杆的稳定性设计▪11.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例▪11.6结论与讨论大连大学1411.1弹性平衡稳定性的基本概念大连大学1511.1弹性平衡稳定性的基本概念▪11.1.1平衡状态的稳定性和不稳定性▪11.1.2临界状态与临界载荷▪11.1.3三种类型的压杆的不同临界状态大连大学1611.1弹性平衡稳定性的基本概念——11.1.1平衡状态的稳定性和不稳定性大连大学1711.1.1平衡状态的稳定性和不稳定性▪结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡状态或平衡构形（equilibriumconfiguration）。▪承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。大连大学18FF11.1.1平衡状态的稳定性和不稳定性大连大学19▪当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动（disturbance）使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能恢复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的（stable）。扰动除去后，构件不能恢复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的（unstable）。此即判别弹性平衡稳定的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）。▪不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其它平衡构形。例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为屈曲(buckling)或失稳(loststability)。通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌(collapse)。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。11.1弹性平衡稳定性的基本概念——11.1.2临界状态与临界载荷大连大学2011.1.2临界状态与临界载荷▪介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态(criticalstate)。处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有的是不稳定的，也有的是中性的。▪非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。▪使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷(criticalload)，用Fcr表示。大连大学2111.1.2临界状态与临界载荷大连大学22FΔOFFFcrFcrF´FFcrΔF临界点FFFF稳定不稳定11.1弹性平衡稳定性的基本概念——11.1.3三种类型的压杆的不同临界状态大连大学2311.1.3三种类型的压杆的不同临界状态▪不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。理论分析与试验结果都表明，根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。大连大学2411.1.3三种类型的压杆的不同临界状态大连大学25细长杆——发生弹性屈曲当外加载荷FFcr时，不发生屈曲。当FFcr时，发生弹性屈曲：当载荷除去后，杆仍能由弯曲平衡构形恢复到初始直线平衡构形。右图为细长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系。OFΔFcrFFΔ11.1.3三种类型的压杆的不同临界状态大连大学26中长杆——发生弹塑性屈曲当外加载荷FFcr时，中长杆也会发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为这时压杆上的某些部分已经出现塑性变形。右侧为中长杆承受压缩载荷时，载荷与侧向屈曲位移之间的关系。OFΔFcrFFΔ11.1.3三种类型的压杆的不同临界状态大连大学27粗短杆—不发生屈曲，而可能发生屈服或断裂粗短杆承受压缩载荷时，载荷与轴向变形关系曲线。OFΔFcrFF𝛥2𝛥211.2细长压杆的临界载荷－欧拉临界力大连大学2811.2细长压杆的临界载荷－欧拉临界力▪11.2.1两端铰支的压杆▪11.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式大连大学2911.2细长压杆的临界载荷－欧拉临界力——11.2.1两端铰支的压杆大连大学3011.2.1两端铰支的压杆▪当FFcr时，0，这表明当无限接近临界载荷时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内存在微弯的屈曲平衡构形。▪根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。大连大学31FΔOFFcrFcrF´FFcr临界点11.2.1两端铰支的压杆▪研究压杆稳定性，必须首先确定临界压力Fcr的值，不同约束情况下细长压杆的临界压力不同，本节就两端铰支的细长压杆的临界压力公式进行推导。▪压力F与轴线重合，当压力达到临界值时压杆由原来的直线平衡转变为弯曲平衡状态。可以认为，使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力即为临界压力。大连大学32FxwwFFMFlx11.2.1两端铰支的压杆从任意截面处将微弯屈曲状态下的压杆截开，局部轴力如图所示，考察微弯状态下局部压杆的平衡。此时弯矩为M=Fw。大连大学33xwwFFMxd2𝑤d𝑥2=−𝑀𝐸𝐼由小挠度微分方程𝐹𝑤=−𝐸𝐼d2𝑤d𝑥2令有𝑘2=𝐹𝐸𝐼d2𝑤d𝑥2+𝑘2𝑤=0这样一个二阶常系数线性微分方程，其通解为𝑤=𝐴sin𝑘𝑥+𝐵cos𝑘𝑥式中，A、B为待定常数，可以通过压杆边界条件确定w(0)=0,w(l)=011.2.1两端铰支的压杆大连大学34将边界条件w(0)=0和w(l)=0代入𝑤=𝐴sin𝑘𝑥+𝐵cos𝑘𝑥，可求得𝐵=0𝐴sin𝑘𝑙=0要使𝐴sin𝑘𝑙=0，𝐴或者sin𝑘𝑙必等于零。但若𝐴等于零，且由𝐵=0可知此时𝑤≡0，这表明杆件任一横截面的挠度均为零，即压杆轴线仍为一条直线，这与事先设定的压杆处于微弯的平衡状态相矛盾，故只能sin𝑘𝑙=0。于是求得𝑘𝑙=𝑛𝜋,𝑛=0,1,2,⋯𝑘=𝑛𝜋𝑙，将k代入得到𝑘2=𝐹𝐸𝐼𝐹=𝑛2𝜋2𝐸𝐼𝑙2因为n是0,1,2,⋯无数整数中的任意一个，所以使压杆在微弯状态下保持平衡的压力理论上是多值的。但使杆件保持微小弯曲的最小压力才是临界压力。如取n=0，则有F=0，表示杆件不受力，与情况不符，所以n=1。11.2.1两端铰支的压杆大连大学35这样得到临界压力𝐹cr=𝜋2𝐸𝐼𝑙2式中，E为压杆的弹性模量，I为横截面的最小形心主惯性矩（由于压杆两端是铰支座，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形必定是发生在抗弯能力最差的纵向平面内）。临界压力时的挠曲线方程为𝑤=𝐴sin𝜋𝑥𝑙该挠曲线是一条半波正弦曲线（[0-π]），其中点的挠度（用Δ表示，数值等于A）则取决于压杆的微弯程度。11.2.1两端铰支的压杆大连大学36Δ是一个无法确定的值，似乎压杆在临界压力作用下处于随遇平衡状态。但事实上这是不成立的，Δ之所以无法确定，是因为推导公式时使用了挠曲线近似微分方程，若采用精确微分方程，则所得解的F与Δ的关系可用图a中曲线AB表示。当FFcr时，压杆在微弯平衡状态下，压力F与压杆中点的挠度Δ之间存在一一对应的关系。而由挠曲线近似微分方程得出的F-Δ的关系如图b所示，当F=Fcr时，压杆在微弯形态下呈现随遇平衡的特征。FΔFcrAB(a)FΔFcr(b)11.2.1两端铰支的压杆大连大学37对于任意的𝑘=𝑛𝜋𝑙，可得到与直线平衡构形无限接近的屈曲位移函数，又称为屈曲模态（bucklingmode）𝑤=𝐴sin𝑛𝜋𝑥𝑙其中A为未定常数，称为屈曲模态幅值（amplitudeofbucklingmode），n为屈曲模态的正弦半波数。11.2细长压杆的临界载荷－欧拉临界力——11.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式大连大学3811.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式▪不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：▪这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度(effectivelength)；为反映不同支承影响的系数，称为长度因数（coefficientoflength），可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。大连大学39𝐹cr=π2𝐸𝐼𝜇𝑙211.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式大连大学40两端固定＝0.5一端铰支，一端固定＝0.7两端铰支＝1.0一端自由，一端固定＝2.011.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式大连大学41需要注意的是,临界载荷公式，只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。𝐹cr=π2𝐸𝐼𝜇𝑙211.3长细比的概念三类不同压杆的判断大连大学4211.3长细比的概念三类不同压杆的判断▪11.3.1长细比的定义与概念▪11.3.2三类不同压杆的区分▪11.3.3三类压杆的临界应力公式▪11.3.4临界应力总图与λp、λs值的确定大连大学4311.3长细比的概念三类不同压杆的判断——11.3.1长细比的定义与概念大连大学4411.3.1长细比的定义与概念▪在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的平均正应力小于或等于材料的比例极限大连大学45𝜎cr=𝐹cr𝐴=π2𝐸𝐼𝜇𝑙2𝐴≤𝜎p其中称为σcr临界应力(criticalstress)；σp为材料的比例极限。对于某一压杆，当临界载荷Fcr尚未算出时，不能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当临界载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范围，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式。这些都会给计算带来不便。能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进柔度（compliance）的概念。11.3.1长细比的定义与概念▪柔度又称长细比（slendernessratio），用λ表示。柔度是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量，由下式确定：大连大学46𝜆＝𝜇𝑙𝑖其中，i为压杆横截面的惯性半径：𝑖=�