第8章梁的位移分析与刚度设计

工程力学工程静力学与材料力学马志涛第8章梁的位移分析与刚度设计第8章梁的位移分析与刚度设计▪上一章中已经提到，如果忽略剪力的影响，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移。▪位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。第8章梁的位移分析与刚度设计▪在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。▪若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。▪本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。大连大学4第8章梁的位移分析与刚度设计▪8.1基本概念▪8.2小挠度微分方程及其积分▪8.3工程中的叠加法▪8.4简单的超静定梁▪8.5梁的刚度设计▪8.6结论与讨论8.1基本概念大连大学68.1基本概念▪8.1.1梁弯曲后的挠度曲线▪8.1.2梁的挠度与转角▪8.1.3梁的位移与约束密切相关▪8.1.4梁的位移分析的工程意义大连大学78.1基本概念——8.1.1梁弯曲后的挠度曲线大连大学88.1基本概念▪梁在弯矩（My或Mz）作用下发生弯曲变形，为便于叙述，只讨论一个方向弯矩作用的情形，略去下标，只用M表示弯矩。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elasticcurve），或挠度曲线（deflectioncurve），简称弹性线或挠曲线。大连大学98.1基本概念▪根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：大连大学101𝜌＝𝑀𝐸𝐼式中，ρ、M都是横截面位置x的函数𝜌=𝜌𝑥𝑀=𝑀𝑥8.1基本概念——8.1.2梁的挠度与转角大连大学118.1.2梁的挠度与转角▪梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：①横截面形心处的垂直于变形前梁的轴线方向的线位移，称为挠度（deflection），用w表示；②变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope）用表示；③横截面形心沿变形性前梁的轴线方向的线位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。▪在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。大连大学128.1.2梁的挠度与转角▪在Oxw坐标系中，挠曲线上任意一点处的切线斜率：大连大学13d𝑤d𝑥=tan𝜃在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有式中w＝w(x)，称为挠度方程（deflectionequation）。d𝑤d𝑥=𝜃8.1基本概念——8.1.3梁的位移与约束密切相关大连大学148.1.3梁的位移与约束密切相关大连大学15三种承受弯曲的梁AB段各横截面都受有相同的弯矩（M＝Fa）作用。三种情形下，AB段梁的曲率（1／）处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。对于没有约束的梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。对于中间部分两端分别为一对力偶对于右端左端为一对力偶8.1基本概念——8.1.4梁的位移分析的工程意义大连大学168.1.4梁的位移分析的工程意义▪位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管如此，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。大连大学17机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。8.1.4梁的位移分析的工程意义▪工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。大连大学188.2小挠度微分方程及其积分大连大学198.2小挠度微分方程及其积分▪8.2.1小挠度曲线微分方程▪8.2.2积分常数的确定约束条件与连续条件大连大学208.2小挠度微分方程及其积分——8.2.1小挠度曲线微分方程大连大学218.2.1小挠度曲线微分方程大连大学22力学中的曲率公式1𝜌=𝑀𝐸𝐼数学中的曲率公式1𝜌=d2𝑤d𝑥21+d𝑤d𝑥232小挠度情形下，得到d𝑤d𝑥=θ≪1d2𝑤d𝑥2=±𝑀𝐸𝐼此式即为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小挠度微分方程（diiferentialequationforsmalldeflection），式中的正负号与w坐标的取向有关。8.2.1小挠度曲线微分方程大连大学23当取x轴向右为正，w轴向下为正，曲线凸向上时，凸向下时为负。𝑑2𝑤𝑑𝑥20xw𝑑2𝑤𝑑𝑥20OxwOMM𝑀0𝑑2𝑤𝑑𝑥20𝑀0MM这时，挠度w的二阶导数为d2𝑤d𝑥2=−𝑀𝐸𝐼剪力对梁的位移是有影响的，但对于细长梁，这种影响很小，可以忽略不计。8.2.1小挠度曲线微分方程▪对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：大连大学24其中C、D为积分常数。d𝑤d𝑥=−𝑀𝑥𝐸𝐼d𝑥𝑙+𝐶𝑤=−𝑀𝑥𝐸𝐼d𝑥𝑙d𝑥𝑙+𝐶𝑥+𝐷8.2小挠度微分方程及其积分——8.2.2积分常数的确定约束条件与连续条件大连大学258.2.2积分常数的确定约束条件与连续条件▪积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。▪连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处（w二阶导数不连续，但转角对应的w一阶导数连续，至于挠曲线就是光滑的了），两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。▪上述方法称为积分法（integrationmethod）。大连大学268.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角▪已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。▪求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。大连大学278.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角▪解：1.确定梁约束力应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。大连大学282.分段建立梁的弯矩方程因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角2.分段建立梁的弯矩方程AB和BC两段的弯矩方程分别为大连大学29AB段BC段𝑀1𝑥=34𝐹P𝑥0≤𝑥≤𝑙4𝑀2𝑥=34𝐹P𝑥－𝐹P𝑥－𝑙4𝑙4≤𝑥≤𝑙8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角3.将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分大连大学30𝐸𝐼d2𝑤1d𝑥2=−𝑀1𝑥=−34𝐹P𝑥0≤𝑥≤𝑙4积分后，得𝐸𝐼𝜃1=−38𝐹P𝑥2+𝐶1𝐸𝐼𝑤1=−18𝐹P𝑥3+𝐶1𝑥+𝐷1其中，C1、D1为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角3.将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分大连大学31𝐸𝐼d2𝑤2d𝑥2＝－𝑀2𝑥=－34𝐹P𝑥＋𝐹P𝑥－𝑙4𝑙4≤𝑥≤𝑙积分后，得𝐸𝐼𝜃2＝－38𝐹P𝑥2＋12𝐹P𝑥－𝑙42+𝐶2𝐸𝐼𝑤2＝－18𝐹P𝑥3＋16𝐹P𝑥－𝑙43+𝐶2𝑥+𝐷2其中，C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等：x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2代入到积分式得到：大连大学32𝐷1=𝐷2=0𝐶1＝𝐶2=7128𝐹P𝑙24.利用约束条件和连续条件确定积分常数8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角5.确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后，得到梁的转角和挠度方程为：大连大学33AB段BC段𝜃𝑥=𝐹P𝐸𝐼−38𝑥2+7128𝑙2𝑤𝑥=𝐹P𝐸𝐼−18𝑥3+7128𝑙2𝑥𝜃𝑥=𝐹P𝐸𝐼−38𝑥2+12𝑥−𝑙42+7128𝑙2𝑤𝑥=𝐹P𝐸𝐼−18𝑥3+16𝑥−𝑙43+7128𝑙2𝑥8.2.2例题8-1承受集中载荷的简支梁挠度和转角5.确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为大连大学34𝑤𝐵=3256𝐹P𝑙3𝐸𝐼𝜃𝐴=7128𝐹P𝑙2𝐸𝐼𝜃𝐶=－5128𝐹P𝑙2𝐸𝐼8.2.2积分常数的确定约束条件与连续条件确定约束力，判断是否需要分段以及分几段；分段写出弯矩方程；分段建立挠度微分方程；微分方程的积分；利用约束条件和连续条件确定积分常数；确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角。大连大学358.3工程中的叠加法大连大学368.3工程中的叠加法▪在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表（表8-1P154）。▪基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。大连大学378.3工程中的叠加法▪8.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形▪8.3.2叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形大连大学388.3工程中的叠加法——8.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形大连大学398.3.1叠加法应用于多个载荷作用的情形▪当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。大连大学408.3.1例题8-2承受多种载荷的简支梁挠度和转角大连大学41已知：简支梁同时受到均布载荷q、集中力ql和集中力偶ql2,如图所示，梁的抗弯刚度为EI。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B8.3.1例题8-2▪解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形大连大学42𝑤𝐶=𝑤