第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计

工程力学工程静力学与材料力学马志涛第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计▪工程上将主要承受扭转的杆件称为轴，当轴的横截面上仅有扭矩（Mx）作用时，与扭矩相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这种分布内力在一点处的集度，即为切应力。圆截面轴与非圆截面轴扭转时横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的应力变形分析以及强度设计和刚度设计。▪分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计▪9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形▪9.2切应力互等定理▪9.3圆轴扭转时的切应力分析▪9.4承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计▪9.5结论与讨论大连大学49.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学59.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学6当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生弯曲9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学7传动轴请判断哪些零件将发生扭转？传动轴将产生扭转9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学8请判断哪些零件将发生扭转？9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学9唱机的心轴将产生扭转9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形大连大学10轴将产生扭转和弯曲变形9.1工程上传递功率的圆轴及其扭转变形▪当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。▪不难看出，圆轴受扭后，将产生扭转变形（twistdeformation），圆轴上的每个微元的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力分别用和表示。大连大学11ABCDA'B'C'D'τ'τγ9.2切应力互等定理大连大学129.2切应力互等定理▪圆轴扭转时，微元的剪切变形现象表明，圆轴不仅在横截面上存在切应力，而且在通过轴线的纵截面上也将存在切应力。这是平衡所要求的。▪如果用圆轴的相距很近的一对横截面、一对纵截面以及一对圆柱面，从受扭的圆轴上截取一微元，微元与横截面对应的一对面上存在切应力τ，这一对面上的切应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为dydzdx。▪为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的一对面上，必然存在切应力τ′，这一对面上的切应力也组成一个力偶矩为'dxdzdy的力偶。这两个力偶的力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。大连大学13yxzADCBdxdydz9.2切应力互等定理大连大学14根据力偶平衡理论yxzADCBdxdydz𝜏d𝑦d𝑧d𝑥=𝜏′d𝑥d𝑧d𝑦𝜏=𝜏′切应力互等定理或切应力成对定理(theoremofconjugateshearingstress)：如果在微元的一对面上存在切应力，另一对与切应力作用线互相垂直的面上必然有大小相等、方向或相对(两切应力的箭头相对)或相背(两切应力的箭尾相对)的一对切应力，以使微元保持平衡。9.3圆轴扭转时的切应力分析大连大学159.3圆轴扭转时的切应力分析▪分析圆轴扭转切应力的方法与分析梁纯弯曲正应力的方法，基本相同，即：根据表面变形作出平面假定由平面假定得到应变分布，即得到变形协调方程再由变形协调方程与应力－应变关系得到应力分布，也就是含有待定常数的应力表达式最后利用静力方程确定待定常数，从而得到计算应力的公式大连大学16应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程9.3圆轴扭转时的切应力分析▪圆轴扭转时，圆柱面上的圆保持不变，都是两个相邻的圆绕圆轴的轴线相互转过一角度。▪平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。刚性地转过一角度是指横截面上的直径在横截面转动之后依然保持为一直线。大连大学17MeMe9.3圆轴扭转时的切应力分析▪9.3.1变形协调方程▪9.3.2弹性范围内的切应力-切应变关系▪9.3.3静力学方程▪9.3.4圆轴扭转时横截面上的切应力表达式大连大学189.3圆轴扭转时的切应力分析——9.3.1变形协调方程大连大学199.3.1变形协调方程▪若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的切应变各不相同，半径越小者切应变越小。大连大学20MxACC'dφdxOρ设到轴线任意远处的切应变为，则从图中可得到如下几何关系：γBDD'𝜌d𝜑=𝛾d𝑥𝛾=𝜌d𝜑d𝑥d𝜑d𝑥称为单位长度相对扭转角（angleoftwistperunitlengthoftheshaft）。对于两相邻截面d𝜑d𝑥为常量，故上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。γ9.3圆轴扭转时的切应力分析——9.3.2弹性范围内的切应力-切应变关系大连大学219.3.2弹性范围内的切应力-切应变关系▪若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，切应力与切应变成正比𝜏=𝐺𝛾。▪此即为剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G为比例常数，称为切变模量(shearingmodulus)，常用单位为GPa。大连大学22O𝜏=𝐺𝛾9.3圆轴扭转时的切应力分析——9.3.3静力学方程大连大学239.3.3静力学方程大连大学24𝜏=𝐺𝛾=𝐺d𝜑d𝑥𝜌对于圆轴，切应力τ有其中，𝐺d𝜑d𝑥对于确定的横截面是一个不变的量。上式表明，横截面上各点的切应力与点到横截面中心的距离𝜌成正比，即切应力沿横截面的半径呈线性分布。rρMxττmaxττmax9.3.3静力学方程▪作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有大连大学25此即静力学方程。ρMxdAτ𝜏𝜌d𝐴𝜌𝐴=𝑀𝑥𝐺d𝜑d𝑥𝜌d𝐴𝜌𝐴IP就是圆截面对其中心的极惯性矩。式中的GIP称为圆轴的抗扭刚度（torsionalrigidity）。dρd𝜑d𝑥=𝑀𝑥𝐺𝐼𝑃=𝑀𝑥=𝐺d𝜑d𝑥𝐼𝑃=𝐺d𝜑d𝑥𝜌2d𝐴𝐴9.3圆轴扭转时的切应力分析——9.3.4圆轴扭转时横截面上的切应力表达式大连大学269.3.4圆轴扭转时横截面上的切应力表达式大连大学27这就是圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中Mx由平衡条件确定；IP由积分求得。𝜏𝜌=𝑀𝑥𝐼𝑃𝜌𝜏𝜌=𝐺𝛾=𝐺d𝜑d𝑥𝜌=𝐺𝑀𝑥𝐺𝐼𝑃𝜌=𝑀𝑥𝐼𝑃𝜌切应力ρmaxρMxττmaxττmax𝜏max=𝑀𝑥𝜌max𝐼P=𝑀𝑥𝑊P𝑊P=𝐼P𝜌max抗扭截面系数（sectionmodulusintorsion）9.3.4圆轴扭转时横截面上的切应力表达式大连大学28=d/D对于直径为d的实心圆截面对于内、外直径分别为d和D圆环截面𝐼P=π𝑑432,𝑊P=π𝑑316𝐼P=π𝐷41－𝛼432,𝑊P=π𝐷31－𝛼4169.3.4例题9-1实心与空心轴的最大切应力▪已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相连，传递的功率P＝7.5kW，轴的转速n=100r/min，实心圆轴的直径d1=45mm，空心圆轴的内外直径之比d2/D2==0.5，D2=46mm。▪求：实心轴与空心轴横截面上的最大切应力大连大学29实心轴空心轴9.3.4例题9-1实心与空心轴的最大切应力大连大学30由于两传动轴的转速与传递的功率相等，故二者承受相同的外加扭转力偶矩，因而在横截面上的扭矩也相等。𝑇=9549𝑃𝑛N⋅m外力偶矩其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数。𝑀𝑥=𝑇=9549×7.5100N⋅m=716.2N⋅m扭矩实心轴空心轴9.3.4例题9-1实心与空心轴的最大切应力大连大学31实心轴横截面的最大切应力𝜏max1=𝑀𝑥𝑊𝑃1=16𝑀𝑥π𝑑13=40MPa空心轴横截面的最大切应力𝜏max2=𝑀𝑥𝑊𝑃2=16𝑀𝑥π𝐷231−𝛼4=40MPa讨论：本例中的实心轴与空心轴最大切应力相等，但两轴横截面面积不同𝐴1𝐴2=𝑑12𝐷121−𝛼2=1.28这说明最大切应力相同的情况下，实心轴所用材料比空心轴多。实心轴空心轴9.3.4例题9-2法兰上的螺栓▪已知：两根传递功率的圆轴通过法兰用8根螺栓相连，螺栓位于同一圆周（称为节圆）上，圆的直径为450mm，轴传递的扭矩Me=70kNm，螺栓的许用切应力[τ]=40MPa。▪试分析：I.螺栓等间距分布时，每个螺栓的受力。II.在确保法兰距紧密相连，螺栓在同一圆周上不等间距分布时，每个螺栓的受力。III.螺栓等间距分布时，设计螺栓的直径d。大连大学32MeMe9.3.4例题9-2法兰上的螺栓▪解：1.螺栓等间距分布时螺栓受力圆周发生扭转时，因为在横截面上同一圆周的切应力相同，所以每个螺栓承受相同的切应力。假设螺栓上的切应力均匀分布，切应力与横截面积的乘积即为螺栓上的剪力，8个螺栓上的剪力力矩之和等于扭矩。大连大学338×𝜏𝐴×𝐷2=𝑀𝑥=𝑀𝑒式中，A为单个螺栓的横截面面积，D为螺栓所在节圆的直径。𝐹𝑆=𝜏𝐴=38.9kN剪力2.螺栓不等间距分布时螺栓受力当螺栓不等间距分布时，只要所连接的两个法兰之间不发生翘曲，螺栓上的剪力与等间距分布时相同。9.3.4例题9-2法兰上的螺栓3.设计螺栓等间距分布时的直径d利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有大连大学34𝜏=2𝑀𝑒8×𝐴×𝐷=𝑀𝑒4×𝜋𝑑24×𝐷≤𝜏𝑑≥𝑀𝑒𝜋𝐷𝜏=35.2mm螺栓直径9.3.4例题9-3齿轮传动机构▪功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一半传递给铅锤C轴，令一半传递给H水平轴。输入功率P1=14kW，水平轴（E和H）转速n1=n2=120r/min；锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z3=12；各轴的直径分别为D1=70mm,D2=50mm,D3=35mm。▪求：各轴横截面上的最大切应力大连大学3539.3.4例题9-3齿轮传动机构▪解：1.计算各轴的功率与转速大连大学36P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3𝑛3＝𝑛1×𝑧1𝑧3＝120×3612r/min＝360r/min转速与齿数成反比，所以有2.根据𝑇=9549𝑃𝑛N⋅m计算各轴的扭矩Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m9.3.4例题9-3齿轮传动机构3.计算各轴的横截面上的最大切应力大连大学373𝜏max𝐸=𝑀𝑥1𝑊P1=16×1114π×703×10−9Pa=16.54MPa𝜏max𝐻=𝑀𝑥2𝑊P2=16×557π×503×10−9Pa=22.69MPa𝜏max𝐶=𝑀𝑥3𝑊P3=16×185.7π×353×10−9Pa=22.06MPa9.4承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计大连大学389.4承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计▪9.4.1扭转试验与扭转破坏现象▪9.4.2扭转强度设计▪9.4.3抗扭刚度设计大连大学399.4承受扭转时圆轴的强度设计与刚度设计——9.4.1扭转试验与扭转破坏现象大连大学409.4.1扭转试验与扭转破坏现象▪为了测定剪切时材料的力学性能，需材料制成扭转试样在扭转试验机上进行试验。▪对于低碳钢，采用薄壁圆管或圆筒进行试验，使薄壁截面上的切应力接近均匀分布，这样才能得到反映切应力与切应变关系的曲线。▪对于铸铁这样的脆性材料，由于基本上不发生塑性变形，所以采用实圆截面试样也能得到反映切应力与切应变关系的曲线。大连大学419.4.