直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d、弦长l的一半12l及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2＝d2＋12l2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断[典例]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定[解析]法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋y－12＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋115，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．[答案]A[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．[提醒]上述方法中最常用的是几何法．考法(二)直线与圆相切的问题[典例](1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.[解析](1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则|k－1＋4－2k|k2＋1＝1，解得k＝43，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝13－4＝3.[答案](1)C(2)3考法(三)弦长问题[典例](1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.12B．1C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为()A．4πB．2πC．9πD．22π[解析](1)因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－222＝22，所以弦长为2.(2)易知圆C：x2＋y2－2ay－2＝0的圆心为(0，a)，半径为a2＋2.圆心(0，a)到直线y＝x＋2a的距离d＝|a|2，由直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，|AB|＝23，可得a22＋3＝a2＋2，解得a2＝2，故圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π，故选A.[答案](1)D(2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则经过圆上一点M22，22的切线方程是________．解析：因为M22，22是圆x2＋y2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x＋y＋a＝0，所以22＋22＋a＝0，得a＝－2，故切线方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝02．若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．解析：由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1,0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即|k＋2|k2＋1＞2，解得0＜k＜43.答案：0，433．设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则|AB|＝________.解析：因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1.又圆心－1，m2在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r＝2，所以圆心到直线y＝x＋1的距离d＝22，所以|AB|＝2r2－d2＝6.答案：6考点二圆与圆的位置关系[典例](2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离[解析]法一：由x2＋y2－2ay＝0，x＋y＝0，得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为22，∴a2＋－a2＝22.又a0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝0－12＋2－12＝2.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1|MN|3，∴两圆相交．法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案]B[变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程x2＋y2－4y＝0，x－12＋y－12＝1，两式相减得，2x－2y－1＝0，因为N(1,1)，r＝1，则点N到直线2x－2y－1＝0的距离d＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A级1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为()A．±5B．±5C．3D．±3解析：选B圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a|5＝5，即a＝±5.故选B.2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为()A.π6或5π6B．－π3或π3C．－π6或π6D.π6解析：选A由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝22－32＝1.即d＝|2k|1＋k2＝1，所以k＝±33，由k＝tanα，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0解析：选B由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为()A．±1B．±24C．±2D．±32解析：选B由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a＋1|1＋a2＝1，解得a＝±24.6．(2018·嘉定二模)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14解析：选B圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r＝2，故圆心到直线的距离d＝|2＋2×－1－3|12＋22＝355，弦长为2r2－d2＝2555.答案：25558．若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝09．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．解析：因为P(－3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(－3，－1)，所以直线P′Q的方程为y＝－1－3－a(x－a)，即x－(3＋a)y－a＝0，圆心(0,0)到直线的距离d＝|－a|1＋3＋a2＝1，所以a＝－53.答案：－5310．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝4＋22＋2＋12＝35＞5.故圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1