00全国高中数学联合竞赛试卷

-1-2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:009:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0}，B={x|10x2－2=10x}，则A∩∁RB是()(A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D)2．设sin＞0，cos＜0，且sinα3＞cosα3，则α3的取值范围是()(A)(2k+π6，2k+π3)，kZ(B)(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，kZ(C)(2k+5π6，2k+)，kZ(D)(2k+π4，2k+π3)∪(2k+5π6，2k+)，kZ3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)33(B)332(C)33(D)634．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x+45的距离中的最小值是()(A)34170(B)3485(C)120(D)1306．设ω=cosπ5+isinπ5，则以，3，7，9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0(C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000)=__________．2．设an是(3x)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则limn→∞(32a2+33a3+…+3nan))=________.3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.4．在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)ab，bc，cd，da；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd的个数是_________三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设Sn=1+2+3+…+n，nN*，求f(n)=Sn(n+32)Sn+1的最大值．-2-2．若函数f(x)=－12x2+132在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．3．已知C0：x2+y2=1和C1：x2a2+y2a2=1(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．-3-2000年全国高中数学联赛二试题（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．二．（本题满分50分）设数列{an}和{bn}满足a0=1，a1=4，a2=49，且an+1=7an+6bn－3，bn+1=8an+7bn－4．n=0，1，2，……证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．三．（本题满分50分）有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．ABCDEFMN-4-2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0}，B={x|10x2－2=10x}，则A∩∁RB是()(A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D)解：A={2}，B={2，－1}，故选D．2．设sin＞0，cos＜0，且sinα3＞cosα3，则α3的取值范围是()(A)(2k+π6，2k+π3)，kZ(B)(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，kZ(C)(2k+5π6，2k+)，kZ(D)(2k+π4，2k+π3)∪(2k+5π6，2k+)，kZ解：满足sin＞0，cos＜0的α的范围是(2k+π2，2k+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，满足sinα3＞cosα3的α3的取值范围为(2k+π4，2k+5π4)．故所求范围是(2k+π4，2k+π3)∪(2k+5π6，2k+)，kZ．选D．3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)33(B)332(C)33(D)63解：A(－1，0)，AB方程：y=33(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，3)，∴S=33．选C．4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根解：a2=pq，b+c=p+q．b=2p+q3，c=p+2q3；14△=a2－bc=pq－19(2p+q)(p+2q)=－29(p－q)20．选A．5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x+45的距离中的最小值是()(A)34170(B)3485(C)120(D)130解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离=|25x－15y+12|534=|5(5x－3y+2)+2|534．∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．6．设ω=cosπ5+isinπ5，则以，3，7，9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0(C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0解：ω5+1=0，故，3，7，9都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B．二．填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000)=__________.解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．设an是(3x)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则limn→∞(32a2+33a3+…+3nan))=________.ACByxO-5-解：an=3n－2C2n．∴3kak=2·323k－2n(n－1)=18n(n－1)，故填18．3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.解：q=a+log43a+log23=a+log83a+log43=(a+log43)－(a+log83)(a+log23)－(a+log43)=log43－log83log23－log43=13．填13．4．在椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.解：c=5－12a，∴|AF|=5+12a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=5+32a2．故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°．或由b2=a2－c2=5－12a2=ac，得解．5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a，AG=63a，AO=64a，BG=33a，AB∶AO=BG∶OH．OH=AO·BGAB=24a．V=43πr3=224πa3．填224πa3．．6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；(2)ab，bc，cd，da；(3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd的个数是_________解：a、c可以相等，b、d也可以相等．⑴当a、c相等，b、d也相等时，有C24=6种；⑵当a、c相等，b、d不相等时，有A23+A22=8种；⑶当a、c不相等，b、d相等时，有C13C12+C12=8种；⑷当a、c不相等，b、d也不相等时，有A33=6种；共28种．填28．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设Sn=1+2+3+…+n，nN*，求f(n)=Sn(n+32)Sn+1的最大值．解：Sn=12n(n+1)，f(n)=n(n+1)(n+32)(n+1)(n+2)=1n+64n+34≤150．(n=8时取得最大值)．2．若函数f(x)=－12x2+132在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．解：⑴若a≤b0，则最大值为f(b)=－12b2+132=2b．最小值为f(a)=－12a2+132=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵若a0b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=132，得b=134．当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－12a2+132=2a时．a=－2±17，但a0，故取a=－2－17．由于|a||b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－12b2+132=3932=2a0．与a0矛盾．故舍．FABOxyGADCBEOH-6-⑶0≤ab．此时，最大值为f(a)=2b，最小值为f(b)=2a．∴－12b2+132=2a．－12a2+132=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3．∴[a，b]=[1，3]或[－2－17，134]．3．已知C0：x2+y2=1和C1：x2a2+y2a2=1(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．解：设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS是菱形．于是OP⊥OQ．设P(r1cosθ，r1sinθ)，Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面积)．即1r21+1r22=1．但r21cos2θa2+r22sin2θb2=1，即1r21=cos2θa2+sin2θb2，同理，1r22=sin2θa2+cos2θb2，相加得1a2+1b2=1．反之，若1a2+1b2=1成立，则对于椭圆上任一点P(r1cosθ，r1sinθ)，取椭圆上点Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则1r21=cos2θa2+sin2θb2，，1r22=sin2θa2+cos2θb2，，于是1r21+1r22=1a2+1b2=1，此时PQ与C0相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．第二试一．（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．证明：连MN，则由FM⊥AM，FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF．又AMN=AFN，但FAN=MAD，故MAD+AMN=FAN+AFN=90．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA．∴SAMDN=12AD·MN=12AD·AFsinA．连BD，由ADB=ACF，DAB=CAF，得⊿ABD∽⊿AFC．∴AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=