05届高中数学联赛试卷（无答案）

12005年高中数学联赛试卷一、选择题1.使关于x的不等式kxx63有解的实数k的最大值是A.36B.3C.36D.62.空间四点A、B、C、D，满足3||AB、4||BC、11||CD、9||DA，则BDAC的取值A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值是A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合}6,5,4,3,2,1,0T，4,3,2,1,77774433221iTaaaaaMi，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A.43273767575B.43272767575C.43274707171D.43273707171二、填空题7.将多项式2019321)(xxxxxxf表示为关于y的多项式)(yg202019192210yayayayaa，且4xy，则2010aaa=__________。8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则实数a的取值范围是_____________。9.设α、β、γ满足20，若对任意Rx，0)cos()cos()cos(xxx成立，则=_____。10.如图，四面体DABC的体积为61，∠ACB=45°，22ACBCAD，则CD=_________。11.正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两顶点在2xy上，则正方形面积的最小值为_____________。12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。C'D'CDB'A'ABDABC2三、解答题13.数列{an}满足a0=1，23645721nnnaaa，Nn，证明：(1)对于任意Nn，a为整数；(2)对于任意Nn，11nnaa为完全平方数。314.将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。415.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，1ECAE，F在线段BC上，2FCBF，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。