05全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

1二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题1.使关于x的不等式≥k有解的实数k的最大值是（）A.B.C.D.2.空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（）A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（）A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A′B′C′D′为正方体，任作平面α与对角线AC′垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程表示的曲线是（）2A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合T={0,1,2,3,4,5,6}，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（）A.B.C.D.二、填空题7.将多项式f(x)=1-x+x2-x3+…-x19+x20表示为关于y的多项式g(y)=a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，且y=x-4，则a0+a1+…+a20=__________.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)＜f(3a2-4a+1)成立，则实数a的取值范围是_____________.9.设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0成立，则γ-α=___________.10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________.11.正方形ABCD的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为_____________.312.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______.三、解答题13.数列{an}满足a0=1，，n∈N，证明：(1)对于任意n∈N，a为整数；(2)对于任意n∈N，anan+1-1为完全平方数.14.将编号为1、2、3、…、9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程.参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本题满分36分，每小题6分)本题共6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1.解：令，3≤x≤6，则..4∴0＜y≤，∴实数k的最大值为.选D.2.解：注意到32+112=130=72+92，由于，则，即，∴只有一个值0.故选A.3.解：如图，连，则.∴，同理，，∴，5∴原式.选A.4.解：将正方体切去两个正三棱锥A-A′BD与C′-D′B′C后，得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A′B′剪开，展开在一张平面上，得到一个平行四边形A′B′B1A1，而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段(如图E′E1)，显然E′E1=A′A1，故l为定值.当E′位于A′B′中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值.选B.5.解：∵，∴.∴，即sin＞sin.又，∴cos＞0，cos＜0.∴cos-cos＞0，方程表示的曲线是椭圆.∵……(*)，∴.∴.∴.∴(*)式＜0，即sin-sin＜cos-cos.∴曲线表示焦点在y轴上的椭圆.选C.66.解：用{a1a2…ak}p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得M′={a1·73+a2·72+a3·7+a4，｜ai∈T，i=1,2,3,4}={[a1a2a3a4]7|ai∈T，i=1,2,3,4}，M′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396.而[396]10=[1104]7，将此数除以74,便得M中的数.故选C.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)本题共有小题，要求直接将答案写在横线上.7.解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为-x的等比数列，由等比数列的求和公式，得.令x=y+4，得，取y=1，有.8.解：∵f(x)在(0,+∞)上定义，又；3a2-4a+1=(3a-1)(a-1)，仅当a＞1或a＜时，3a2-4a+1＞0.(*)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，∴2a2+a+1＞3a2-4a+1，，∴0＜a＜5，结合(*)知.9.解：设f(x)=cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)，由x∈R，f(x)=0知，f(-α)=0，f(-γ)=0，f(-β)=0，即cos(β-α)+cos(γ-α)=-1，cos(α-β)+cos(γ-β)=-1，cos(α-γ)+cos(β-γ)=-1，7∴cos(β-α)=cos(γ-β)=cos(γ-α)=-.∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴β-α，γ-α，γ-β∈[].又β-α＜γ-α，γ-β＜γ-α，只有β-α=γ-β=.∴γ-α=.另一方面，当β-α=γ-β=，有β=α+，γ=α+.x∈R，记x+α=0，由于三点(cosθ,sinθ)，(cos(θ+),sin(θ+))，(cos(θ+),sin(θ+))构成单位圆x2+y2=1上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθ+cos(θ+)+cos(θ+)=0.即cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0.10.解：∵，即.又，等号当且仅当AD=BC==1时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=.11.解：设正方形的边AB在直线y=2x-17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y=2x+b，将直线l的方程与抛物线方程联立，得.令正方形边长为a，则a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1).①在y=2x-17上任取一点(6,-5)，它到直线y=2x+b的距离为a，∴②.①、②联立解得b1=3，b2=63.∴a2=80，或a2=1280.8∴.12.解：∵方程的非负整数解的个数为.而使x1≥1，xi≥0(i≥2)的整数解个数为.现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=.∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且，，，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a65=2005.从而n=65，5n=325.又，而，∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即a5m=52000.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.证明：(1)由题设得a1=5，且{an}严格单调递增.将条件式变形得，两边平方整理得，①∴.②①-②得(an+1-an)(an+1+an-1-7an)=0.∵an+1＞an，∴an+1+an-1-7an=0.9.③由③式及a0=1，a1=5可知，对任意n∈N，an为正整数.……10分(2)将①两边配方，得，∴.④记，由于，从而，∴④式成立.∴anan+1-1是完全平方数.……20分14.解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种.……5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1，x2，…，xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1-x1|+|x1-x2|+…+|xk-9|≥|(1-x1)+(x1-x2)+…+(xk-9)|=|1-9|=8.上式取等号当且仅当1＜x1＜x2＜…＜xk＜9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此S最小=2·8=16.……10分由上知，当每个弧段上的球号{1,x1,x2,…,xk,9}确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是26种，故所求概率.……20分1015.解一：过抛物线上点A的切线斜率为，∴切线AB的方程为y=2x-1.∴B、D的坐标为B(0,-1)，D(,0).∴D是线段AB的中点.……5分设，则由知，；.∴EF所在直线方程为，化简得.…①……10分当时，直线CD的方程为.…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为.……15分当时，EF方程为，CD方程为，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.∴.11∴所求轨迹方程为.……20分解二：由解一知，AB的方程为y=2x-1，B(0,-1)，D(,0)，故D是AB的中点.……5分令，则t1+t2=3.因AD为△ABC的中线，∴S△CAB=2S△CAD=2S△CBD.而，∴.∴P是△ABC的重心.……10分设P(x,y)，，因点C异于A，则，故重心P的坐标为(x≠)，，消去，得.故所求轨迹方程为.……20分