83版全国高中数学联赛试题及解答

-1-1983年全国高中数学联赛第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵x=1log1213+1log1513的值是属于区间A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)⑶已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是A．a≥114B．a=114C．a≥1D．0a1⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－283≤f(3)≤353⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=ab+cd，Q=ma+nc·bm+dn，那么A．P≥QB．P≤QC．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有A．9个B．17个C．1个D．5个⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么A．lR+rB．l≤R+rC．l6R+r6lD．A、B、C三种关系都不对2．填充题(本题满分18分，每小题6分)⑴在△ABC中，sinA=35，cosB=513，那么cosC的值等于．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数mn，那么积m∙n是．-2-第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=2，其中x∈[－1，1]2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|12．3．(本题满分16分)在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．4.(本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．5．(本题满分18分)函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤32π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．ABCDMNE-3-1983年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q与p－q的奇偶性相同．∴p+q为偶数，p－q为偶数，p3－q3为偶数．p+q为奇数，p、q一奇一偶，p3－q3为奇数．故选C．⑵x=1log1213+1log1513的值是属于区间A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)解：x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．⑶已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定解：tanA2为有理数，sinA、cosA都是有理数．选B．⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是A．a≥114B．a=114C．a≥1D．0a1解：M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，a≥114，选A．⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－283≤f(3)≤353解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)，∴λ+4μ=9，λ+μ=1．∴λ=－53，μ=83．即f(3)=－53f(1)+83f(2)．但53≤－53f(1)≤403，－83≤83f(2)≤403，∴－1≤－53f(1)+83f(2)≤20.．选C．⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=ab+cd，Q=ma+nc·bm+dn，那么A．P≥QB．P≤QC．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．解：由柯西不等式，Q≥P．选B．⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有A．9个B．17个C．1个D．5个-4-解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有9个点．选A．⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么A．lR+rB．l≤R+rC．l6R+r6lD．A、B、C三种关系都不对解：R=A2sinA，当A→180°时，a最大，而R可大于任意指定的正数M．从而可有R6l，否定A、C．又正三角形中，R+r=32al，否定B．故选D．2．填充题(本题满分18分，每小题6分)⑴在△ABC中，sinA=35，cosB=513，那么cosC的值等于．解：cosA=±45，sinB=1213，但若cosA=－45，则A135°，cosB=513cos60°，B60°，矛盾．故cosA=45．∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－513·45+35·1213=1665．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．解：设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个．即填36．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数mn，那么积m∙n是．解：此六面体可看成是由两个正四面体粘成．每个正四面体的高h1=63a，于是，利用体积可得Sh1=3Sr1，r1=69a．同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的高h2=22a，又可得a2h2=4×34a2r2，r2=66a．∴r1r2=23，∴m∙n=6．第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=π2，其中x∈[－1，1]证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，sin(π2－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴π2－arccosx∈[－π2，π2]．故根据反正弦定义，有arcsinx=π2－arccosx．故证．2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|12．证明：不妨取0≤x1x2≤1,若|x1-x2|≤12，则必有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|12．-5-若|x1-x2|12，则x2－x112,于是1－(x2－x1)12,即1－x2+x1－012．而|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)||x1－0|+|1－x2|=1－x2+x1－012．故证.3．(本题满分16分)在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．证明设AC、BD交于点E．由AM∶AC=CN∶CD，故AM∶MC=CN∶ND，令CN∶ND=r(r0)，则AM∶MC=r．由SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即SABD∶SBCD=3∶4．从而AE∶EC∶AC=3∶4∶7．SACD∶SABC=6∶1，故DE∶EB=6∶1，∴DB∶BE=7∶1．AM∶AC=r∶(r+1)，即AM=rr+1AC，AE=37AC，∴EM=(rr+1－37)AC=4r－37(r+1)AC．MC=1r+1AC，∴EM∶MC=4r－37．由Menelaus定理，知CNND·DBBE·EMMC=1，代入得r·7·4r－37=1，即4r2－3r－1=0，这个方程有惟一的正根r=1．故CN∶ND=1，就是N为CN中点，M为AC中点．4.(本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．解：边长为2的三角形，其余两边可能是：⑴3，3；⑵3，4；⑶4，5；⑷5，5．按这几条棱的组合情况，以2为公共棱的两个侧面可能是：①⑴，⑷；②⑴，⑶；③⑵，⑷．先考虑较特殊的情况①：由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD，∴V1=13·12·232－12·4=832；情况②：由于此情况的底面与情况②相同，但AC不与底垂直，故高4，于是得V2V1．情况③：高2，底面积=12·532－(52)2=5411．∴V313·5411=5611832．∴最大体积为832．5．(本题满分18分)函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤32π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．ABCDMNE情况2情况3情况1ABCD535432ABCD535432234535DCBA-6-解：F(x)=|2sin(2x+4)+Ax+B|．取g(x)=2sin(2x+4)，则g(8)=g(98)=2．g(58)=－2．取h(x)=Ax+B，若A=0，B≠0，则当B0时，F(8)2，当B0时，F(58)2．从而M2．若A≠0，则当h(58)0时，F(58)2，当h(58)≥0时，由于h(x)是一次函数，当A0时h(x)递增，h(98)h(58)0，此时F(98)2；当A0时h(x)递减，h(8)h(58)0，此时F(8)2．故此时M2．若A=B=0，显然有M=2．从而M的最小值为2，这个最小值在A=B=0时取得．