87全国高中数学联赛试题及解答

-1-1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午8∶00——9∶30)一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则()A．这样的a有无穷多个B．这样的a存在，但只有有限个C．这样的a不存在D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A．102B．14C．56D．12(天津供题)3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中()A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题)4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α(0απ3)，现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为()A．22π(1+sinα)－66αB．673πC．22π+683πsinα－66αD．33π－66α(北京供题)二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)：1．已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+1y)+(x2+1y2)+(x3+1y3)+…+(x2001+1y2001)的值等于．(陕西供题)2．已知集合A={(x，y)||x|+|y|=α，α0}B={(x，y)||xy|+1=|x|+|y|}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为．(青海供题)3．若k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α2n+α－2n的个位数字总是7，则k的个位数字是．(河北供题)4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，41的三角形四个，边长为562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成个四面体．(江西供题)5．五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：⑴孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为．(命题组供题)2ABC-2-1987年全国高中数学联赛二试题一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形．EBCDA二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得⑴每个整点都在此集合的某个圆周上；⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理)三．n(n3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．-3-1987年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)：1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则()A．这样的a有无穷多个B．这样的a存在，但只有有限个C．这样的a不存在D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k为任意正整数)，则n6+3a为正整数的立方，由于k可任意取值，且当k增大时，a也随之增大．即a有无数个．选A．2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()A．102B．14C．56D．12(天津供题)解：设x≥3，y≤3，且x2+y2=25．满足要求的点构成直角坐标系中一段弧(图中粗线部分)．令x+y=k，则当直线经过点(4，3)时取得最大值7．即2x+2y≤14．选B．3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中()A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题)解：若直线斜率为k，则当k=0时直线经过x轴上所有有理点．当k≠0时，直线方程为y=k(x－a)．若k为有理数，则当x为有理数时，y为无理数；若k为无理数，若此时直线经过一个有理点A(x1，y1)，对于直线上与A不重合的点B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a为无理数，故y1≠0，x2－a≠0，y2y1=x2－ax1－a=m，当y2为有理数时，m为有理数，当y2≠y1时，m≠1，此时x2=mx1+(1－m)a为无理数．即此直线上至多有一个有理点．选C．4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α(0απ3)现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为()A．22π(1+sinα)－66αB．673πC．22π+683πsinα－66αD．33π－66α(北京供题)解：点A每k(k≡1(mod3))不动，第k(k≡2(mod3))次走过路程23π－2α，第k(k≡0(mod3))走过路程π3(2sinα)，于是所求路程=33(23π－2α+23πsinα)．选A．二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)：1．已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(4,3)533yOxC22A2A1C1B1ABC-4-(x+1y)+(x2+1y2)+(x3+1y3)+…+(x2001+1y2001)的值等于．(陕西供题)解0∈M，但xy0，故只有lg(xy)=0，，xy=1．∴1∈N，故|x|=1，或y=1，若y=1，则由xy=1得，x=1，与元素相异性矛盾．故y1．∴|x|=1，x=1或x=－1，其中x=1同上矛盾．故x=－1．y=－1．∴x2k+1y2k=2；x2k+1+1y2k+1=－2(k∈N*)．故所求值=－2．解：xy≠0，x≠0，y≠0．故xy=1．若y=1，则x=1，矛盾，故x=－1，y=－1．原式=－2．2．已知集合A={(x，y)||x|+|y|=α，α0}B={(x，y)||xy|+1=|x|+|y|}若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为．(青海供题)解：集合A的图形是依次连(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四点的线段．集合B的图形是直线x=1，x=－1，y=1，y=－1．它们交得一个正八边形．若此4条直线为图中的4条实线，则α=tan22.5°+1=2．或此正八边形各边与原点距离相等，知直线x+y=α与原点距离=1．α=2．若此4条直线为图中的4条虚线，则2α=22+2，α=2+2．∴α=2或2+2．3．若k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α2n+α－2n的个位数字总是7，则k的个位数字是．(河北供题)解：另一根=α－1，α+α－1=k，记α2n+α－2n≡kn(mod10)，0≤kn10．由α2n+α－2n=(α2n－1+α－2n－1)2－2得，kn≡kn－12+8(mod10)．若k为偶数，则kn为偶数，不等于7．若kn－1≡±1(mod10)，则kn≡9，kn+1≡9(mod10)；若kn－1≡±3(mod10)，则kn≡7，kn+1≡7(mod10)；若kn－1≡5(mod10)，则kn≡9，kn+1≡9(mod10)；故k的个位数字为3，5，7．4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5，41的三角形四个，边长为562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成个四面体．(江西供题)解：用四个三角形拼成四面体，每种边长至少要在两个三角形中出现．因此以上三种三角形如果要用，就用偶数个．由于第①类边长为3，4，5的三角形与第②类边长为4，5，41的三角形都是直角三角形，而第③类边长为562，4，5的三角形为钝角三角形．因此，用4个后两种三角形都不能单独拼成四面体(四个面全等的四面体是等腰四面体，其各面都是锐角三角形)．情况⑴：4个三角形中有两个②类三角形，如图，取两个②类三角形，BC=41，则斜边BC上的高AE=DF=h=2041．且BE=CF=x=1641，则EF=41－2×1641=641．于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=141(881－810cosθ)4ABCD54FExhhxEF41455DCBA情况2情况1343xOy-5-∈(8141，41)．(*)若再取两个①类三角形时，由于AD=3，满足(*)式，故可以构成四面体．若再取两个③类三角形时，由于AD=562，不满足(*)式，故不可以构成四面体．情况⑵：两个①类，两个③类．此时取BC=5，AB=CD=3，于是斜边BC上的高AE=DF=h=125．且BE=CF=x=95，则EF=5－2×95=75．于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=125(337－288cosθ)∈(4925，25)．由于AD=562，不满足(*)式，故不可以构成四面体．∴只能构成1个四面体．5．五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：⑴孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为．(命题组供题)解：设此10人为A，a；B，b；C，c；D，d；E，e．A只参加2组，故除a外其余8人应分成2组，每组人数都不超过4人（否则有孪生兄妹同组)．记第一组为{B，C，D，E}，第二组为{b，c，d，e}．于是其余8人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组．即除a外其余组中人数不超过2人．每人都再参加3组，故至少还要3×4=12组．a可参加其中4组．即至少要14组．又{a，B，c}，{B，d}，{B，e}，{a，C，b}，{C，d}，{C，e}，{D，b}，{D，c}，{a，D，e}，{E，b}，{E，c}，{a，E，d}满足要求．故所求最小值为14．1987年全国高中数学联赛二试题一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形．证明：以A为原点，AC为x轴正方向建立复平面．设C表示复数c，点E表示复数e(c、e∈R)．则点B表示复数b=12c+12ci，点D表示复数d=12e－12ei．把△ADE绕点A旋转角θ得到△ADE，则点E表示复数e=e(cosθ+isinθ)．点D表示复数d=d(cosθ+isinθ)表示EC中点M的复数m=12(c+e)．∴表示向量→MB的复数：z1=b－12(c+e)=12c+12ci－12c－12e(cosθ+isinθ)=－12ecosθ+12(c－esinθ)i．表示向量→MD的复数：z2=d－m=(12e－12ei)(cosθ+isinθ)－12c－12e(cosθ+isinθ)=12(esinθ－c)－12iecosθ．显然：z2=z1i．于是|