89全国高中数学联赛试题及详细解析

一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在复平面内所对应的点位于()[来源:Zxxk.Com]A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是()A．(－π，π)B．[－34π，34π]C．(－34π，34π)D．[－12π，12π]三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若loga21，则a的取值范围是．2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为．5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2－a1≥3，与a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有种．6．当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值为．三．(本题满分20分)已知a1，a2，…，an是n个正数，满足a1∙a2∙…∙an=1．求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．四．(本题满分20分)已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使APPO=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．五．(本题满分20分)已知：对任意的n∈N*，有an0，且nΣj=1a3j=(nΣj=1aj)2．求证：an=n．三．(本题满分35分)有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即SBCAO总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．1989年全国高中数学联赛解答第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[来源:学科网]【答案】B【解析】0°A、B90°A+B180°．故90°A90°－B0°，sinAcosB，cosAsinB．故cosB－sinA0，sinB－cosA0．点Z位于第二象限．选B[来源:学,科,网]3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒()A．关于x轴对称B．关于直线x=l对称C．关于直线x=－l对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】令x－1=t，则得f(t)=f(－t)，即f(t)关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B5．若M={z|z=t1+t+i1+tt，t∈R，t≠－1，t≠0}，N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}．[来源:Z|xx|k.Com]则M∩N中元素的个数为A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】M的图象为双曲线xy=1(x≠0，x≠1)N的图象为x2+y2=2(x≥0)，二者无公共点．选A．三．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．若loga21，则a的取值范围是．【答案】(0，1)∪(2，+∞)【解析】若0a1，则loga20，若a1，则得a2．故填(0，1)∪(2，+∞)2．已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．【答案】（2，6）【解析】直线l方程为(x+10)－2y=0，解得交点为(2，6)．3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)=|f1(x)－2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.但n∈N*，故n=1，得，α2+α－1=0，∴=－1±52，由α0，知，=－1+52．∴原数为－1+52．5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2－a1≥3，与a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有种．【答案】120【解析】令a1=a1，a2=a2－2，a3=a3－4，则得1≤a1a2a3≤10．所求取法为C310=120．三．(本题满分20分)已知a1，a2，…，an是n个正数，满足a1∙a2∙…∙an=1．求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．a1a2+a1a3+…+an－1an≥C2nC2n(a1a2…an)n－1=C2n，……，∴(2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an≥2n+C1n2n－1+C2n2n－2+…+C1n=(2+1)n=3n．四．(本题满分20分)已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使APPO=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．五．(本题满分20分)已知：对任意的n∈N*，有an0，且nΣj=1a3j=(nΣj=1aj)2．求证：an=n．【解析】证明：由已知，a13=a12，a10，∴a1=1．设n≤k(k∈N，且k≥1)时，由nΣj=1a3j=(nΣj=1aj)2成立可证ak=k成立．当n=k+1时，k+1Σj=1a3j=(k+1Σj=1aj)2=(kΣj=1aj)2+2ak+1(kΣj=1aj)+a2k+1．即14k2(k+1)2+a3k+1=14k2(k+1)2+2ak+1·12k(k+1)+a2k+1．[来源:学科网]∴a2k+1－ak+1－k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=－k或ak+1=k+1．由an0知，只有ak+1=k+1成立．即n=k+1时命题也成立．由数学归纳原理知对于一切n∈N*，an=n成立．第二试一．(本题满分35分)已知在ΔABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证2AF=AB-AC．【解析】证明：在FB上取FG=AF，连EG、EC、EB，于是ΔAEG为等腰三角形，∴EG=EA．又3=180－EGA=180－EAG=180－5=4．1=2．于是ΔEGB≌ΔEAC．∴BG=AC，故证二．已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足nΣi=1|xi|=1，nΣi=1xi=0，求证：nΣi=1xii≤12－12n．三．有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）．【解析】证明：基本项共有n!个，n3，则基本项的个数为4的倍数，设共有4m项．其中每个数aij(=±1)都要在(n－1)!个基本项中出现，故把所有基本项乘起来后，每个aij都乘了(n－1)!次，而n3，故(n－1)!为偶数，于是该乘积等于1．这说明等于－1的ABCEFG12345基