全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案（非数学类）

第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 (非数学类, 2015年3月) 1）极限222020limxuxxueduedu的值是 ———。答案 0 解：22222222220002202e22lim=limlimlim02xxxuxuuxxxxxxxxxuedueduedueeexeedu  (2）设实数0a，微分方程2'0(0)0,'(0)1yayyy的解是———。 答案：1ln(1)yaxa 解： 记'py，则2'0pap，就是        2dpadxp，从而11+axcp，由(0)1p得10c。故有      1dydxax，21ln()yaxca。再有(0)0y得21c，故1ln(1)yaxa。   (3）设0000,11A则50A=————。 答案：505049495000005050 解： 记000000110B，则2B为零矩阵，故 5050505049504949500050005050AEBEB。     （4）不定积分24+11xIdxx是————。     111arctan22Ixcx 或 1arctan(21)+arctan(2+1+2Ixxc） 解：22221111111arctan12212xIdxdxxcxxxxxx （5）设曲线积分LyxydxxdyI||||，其中L是以(1,0),(01)(1,0)(0,1)，，，为顶点的正方形的边界曲线，方向为逆时针，则I———。 答案: 4 解：曲线L的方程为||||1xy，记该曲线所围区域为D。由格林公式   (11)2()4DLIxdyydxdxdyD  （6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为0A,函数(,)fxy在该区域及其边界上连续,函数(,)fxy在D上连续且(,)0fxy.记1/1(,)nnnDJfxydA,求极限limnnJ.答案：1expln(,)DfxydA解.设1()(,)tDFtfxydA,则1/00ln()limlim()limexptnnttFtJFtt.000ln()ln()ln(0)'(0)limlimln()''(0)0(0)tttFtFtFFFtFttF.故有1limexp'(0)expln(,)nnDJFfxydA.     二(本题满分12分)设,1,2,,jljn是平面上点0P处的2n个方向向量,相邻两个向量之间的夹角为2n。若函数),(yxf在点0P有连续偏导，证明01()0njjfPl。证:  不妨设jl为单位向量，且设          22cos+,sin+jjjlnn， 000()()()=,fPfPfPxy， 则有                 00()()jjfPfPll。......................................................(6分) 因此      0000111()()()()00nnnjjjjjjfPfPlfPlfPl.........(12分) 三 设1212,,,AABB均为n阶方阵，其中22,AB可逆。证明：存在可逆阵,PQ使(1,2)iiPAQBi成立的充要条件是112AA和112BB相似。 证 若存在可逆阵,PQ使(1,2)iiPAQBi，则111122BQAP，所以 1111212BBPAAP，故112AA和112BB相似。...........................................(6分)      反之，若112AA和112BB相似，则存在可逆阵C，使1111212CAACBB。于是 111221CAACBB。令1PC，122QACB，则,PQ可逆，且满足                         (1,2)iiPAQBi      ...............................................(14分) 四 设0p，114x，21(1,2,)pppnnnxxxn，证明111pnnx收敛并求其和。 【解】记 pnnyx，由题设，21nnnyyy，210nnnyyy， 所以 1nnyy。 .............(2分) 设ny收敛，即有上界，记1Alim04pnny。从而 2AAA，所以A=0，矛盾。 故+ny。....................(8分)      由 11)nnnyyy（，即 111111)1nnnnnyyyyy（得                11+11+11111111=41nnpkkkkknyyyyyy。........................(14分) 五 （1）展[,)上的函数()||fxx成傅里叶级数,并证明22116kk.（2）求积分01uuIdue的值.解(1)()fx为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数.002axdx,2204,1,3,22cos(cos1)0,2,4,nnaxnxdxnnnn.由于()fx连续,所以当[,)x有22411()coscos3cos5235fxxxx.令0x得到2201(21)8kk.记1211ksk, 2201(21)ksk,则12114sss,故得221436ss....................................................(5分) （2）记()1+uugue，则在[0,+）上成立23()1+uuuuuueguueueuee.记该级数的前n项和为()nSu，余项为()()()nnruguSu.则由交错（单调）级数的性质(1)(nunruue）.因为201nuuedun，就有201|()|(1)nrudun，这样就有12000011())()(1)()nknnnkguduSuduruduruduk（................(13分) 由于0lim()0nnrudu,故2221111234I.所以1112Iss.再由(1)所证得21212sI................................................(15分) 六设(,)fxy为2R上的非负的连续函数,若222lim(,)xyttIfxyd存在有限,则称广义积分2(,)Rfxyd收敛于I.(1)设(,)fxy为2R上非负且连续.若2(,)Rfxyd收敛于I,证明极限,lim(,)txyttfxyd存在且收敛于I.(2)设2222axbxycyRed收敛于I,其中实二次型222axbxycy在正交变换下的标准型为2212uv.证明1和2都小于0.解.(1)由于(,)fxy非负,222222,2(,)(,)(,)xyttxytxytfxydfxydfxyd.当t,上式中左右两端的极限都收敛于I,故中间项也收敛于I............................(3分) (2)记222222()axbxycyxytItedxdy,则lim()tItI.记abAbc,则222(,)xaxbxycyxyAy.因A实对称,存在正交矩阵P使得1200TPAP,其中12,是A的特征值,也就是标准型的系数.在变换xuPyv下,有2222122axbxycyuv.又由于222222(,),()TTuxuvuvPxyPxyPPxyvy,故变换把圆盘222xyt变为222uvt,且(,)||1(,)xyPuv22221212222222(,)()(,)uvuvuvtuvtxyItedudvedudvuv.由limttII和(1)所证得:2212,limuvttuvtedudvI.在矩形上分离积分变量得,2222121212,()()ttuvuvtttuvtedudveduedvItIt.因为1()It和2()It都是严格单调增加,故21limtuttedu收敛,就有10.同理20.                                  .................................................(15分)