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第一章——集合1.1.1集合的含义[学习目标]1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功[知识链接]1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到的点的集合.几何图形都可以看成.3.解不等式2x－1＞3得，即称为这个不等式的解集.4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是.定点的距离等于定长点的集合x＞2所有大于2的实数集在一起x＝1，x＝2[预习导引]1.元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把统称为元素.(2)集合：把组成的总体叫做集合(简称为集).(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，我们就称这两个集合是相等的.(4)集合元素的特性：、、无序性.研究的对象一些元素元素确定性互异性2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果的元素，就说a属于集合Aa属于集合A不属于如果中的元素，就说a不属于集合Aa不属于集合Aa是集合Aa∈Aa∉Aa不是集合A3.常用数集及表示符号名称自然数集整数集实数集符号N*或N＋ZQ正整数集有理数集NR要点一集合的基本概念例1下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；解“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)不超过20的非负数；解任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；解“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)3的近似值的全体.解“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(4)不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1下列所给的对象能构成集合的是________.(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生.解析(1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16岁以下的学生”.答案(1)(4)要点二元素与集合的关系例2所给下列关系正确的个数是()①－12∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.A.1B.2C.3D.4解析－12是实数，2是无理数，所以①②正确.N*表示正整数集，所以③和④不正确.B规律方法1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中元素有__________.解析当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.0,1,2要点三集合中元素的特性及应用例3已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值.解∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意.综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.规律方法1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准.跟踪演练3已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.解析∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1.此时，A＝{2,0}，符合题意.11.下列能构成集合的是()A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼解析A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.C123452.集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a＝A解析由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，故选C.C123453.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或∉).解析深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.12345∉∈123454.已知①5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________.解析①②③是正确的；④⑤是错误的.35.已知1∈{a2，a}，则a＝________.解析当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.12345－1课堂小结1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.集合1.1.2集合的表示[学习目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功[知识链接]1.质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了和外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数.2.函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴交点.1此整数自身21没有[预习导引]1.列举法表示集合把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法表示集合(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.一一列举共同特征一般符号及取值(或变化)范围共同特征要点一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；解设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；解设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.规律方法对于元素个数较少的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.跟踪演练1用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；解{北京，上海，天津，重庆}；(2)绝对值小于3的整数集合；解{－2，－1,0,1,2}；(3)一次函数y＝x－1与y＝－23x＋43的图象交点组成的集合.解方程组y＝x－1，y＝－23x＋43的解是x＝75，y＝25，所求集合为75，25.要点二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；解偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.(2)被3除余2的正整数的集合；解设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.规律方法用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.跟踪演练2用描述法表示下列集合：(1)所有被5整除的数；解{x|x＝5n，n∈Z}.(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；解{x|6x2－5x＋1＝0}.(3)集合{－2，－1,0,1,2}.解{x∈Z||x|≤2}.要点三列举法与描述法的综合运用例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}.(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.规律方法1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k是否为0而漏解.(2)因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程而分k＝0和k≠0而展开讨论，从而做到不重不漏.2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点.跟踪演练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.解由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根.∴k≠0，Δ＝64－64k＞0，解得k＜1，且k≠0.所以k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.1.集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}解析{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}.B12345123452.已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A.－1∈AB.0∈AC.3∈AD.2∈A解析∵0∈N且－3≤0≤3，∴0∈A.B3.用描述法表示方程x＜－x－3的解集为___________.解析∵x＜－x－3，12345∴x＜－32.∴解集为{x|x＜－32}.{x|x＜－32}12345{1}4.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________.解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.又x∈N，∴x＝1.5.用适当的方法表示下列集合.(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；解∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；12345(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；解{x|x＝2n＋1，且x＜1000，n∈N}；(3)不等式x－2＞6的解的集合；解{x|x＞8}；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.解{1,2,3,4,5,6}.12345课堂小结1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形