高中物理必修一：匀变速直线运动的速度与位移的关系(提高) (2)

匀变速直线运动的速度与位移的关系【学习目标】1、会推导公式2202tvvax2、掌握公式2202tvvax，并能灵活应用【要点梳理】要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系根据匀变速运动的基本公式0tvvat，2012xvtat，消去时间t，得2202tvvax．即为匀变速直线运动的速度—位移关系．要点诠释：①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便,应优先采用．②公式中四个矢量tv、0v、a、x也要规定统一的正方向.要点二、匀变速直线运动的四个基本公式(1)速度随时间变化规律：0tvvat．(2)位移随时间变化规律：2012xvtat．(3)速度与位移的关系：2202tvvax．(4)平均速度公式：02txvv，02tvvxt．要点诠释：运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向．公式(1)中不涉及x，公式(2)中不涉及tv，公式(3)中不涉及t，公式(4)中不涉及a，抓住各公式特点，灵活选取公式求解．共涉及五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量．要点三、匀变速直线运动的三个推论要点诠释：(1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即△x＝aT2(又称匀变速直线运动的判别式)．推证：设物体以初速v0、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移21012xvTaT．①在第2个时间T内的位移220112(2)2xvTaTx2032vTaT．②即△x＝aT2．进一步推证可得①122222nnnnxxxxxaTTT323nnxxT…②x2-x1＝x3-x2＝…＝xn-xn-1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即022ttvvvv．推证：由vt＝v0+at，①知经2t时间的瞬时速度022ttvva．②由①得0tatvv，代入②中，得00/20001()2222ttttvvvvvvvvv，即022ttvvv．(3)某段位移内中间位置的瞬时速度2xv与这段位移的初、末速度v0与vt的关系为22021()2xtvvv．推证：由速度－位移公式2202tvvax，①知220222xxvva．②将①代入②可得22220022txvvvv，即22021()2xtvvv．要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式要点诠释：初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助．设以t＝0开始计时，以T为时间单位，则(1)1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比为v1:v2:v3:…＝1:2:3:…．可由vt＝at，直接导出(2)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为：x1:x2:x3:xn＝1:3:5:…:(2n-1)．推证：由位移公式212xat得2112xaT，2222113(2)222xaTaTaT，22311(3)(2)22xaTaT252aT．可见，x1:x2:x3:…:xn＝1:3:5:…:(2n-1)．即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．(3)1T内、2T内、3T内、…、位移之比为：222123123xxx：：：…：：：…，可由公式212xat直接导出．(4)通过连续相同的位移所用时间之比1231(21)(32)(1)nttttnn::::::::．推证：由212xat知12xta，通过第二段相同位移所用时间22222(21)xxxtaaa，同理：33222xxtaa，2(32)xa，则1231(21)(32)(1)nttttnn::::::-::．要点五、纸带问题的分析方法(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x1、x2、x3…．①若x2-x1＝x3-x2＝…＝1nnxx＝0，则物体做匀速直线运动．②若x2-x1＝x3-x2＝…＝1nnxx＝△x≠0，则物体做匀变速直线运动．(2)“逐差法”求加速度，根据x4-x1＝x5-x2＝x6-x3＝3aT2(T为相邻两计数点的时间间隔)，有41123xxaT，52223xxaT，63323xxaT，然后取平均值，即1233aaaa6543212()()9xxxxxxT．这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x值之差计算加速度，再求平均值可得：32546521222215xxxxxxxxaTTTT6125xxT．比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的偶然误差较大．②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x6+x5+x4)这一大段位移减去(x3+x2+x1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2．(3)瞬间速度的求法在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻2t时的瞬时速度相同，即2tvv．所以，第n个计数点的瞬时速度为：12nnnxxvT．(4)“图象法”求加速度，即由12nnnxxvT，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率即为加速度．【典型例题】类型一、公式2202tvvax的应用例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这个路标时的速度为v2，求：(1)列车的加速度a；(2)列车中点经过此路标时的速度v；(3)整列火车通过此路标所用的时间t．【答案】（1）22212vval（2）22122vvv（3）122ltvv【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过2l处的速度．其运动简图如图所示．(1)由匀变速直线运动的规律得22212vval，则火车的加速度为22212vval．(2)火车的前一半通过此路标时，有22122lvva，火车的后一半通过此路标时，有22222lvva，所以有222212vvvv，故22122vvv．(3)火车的平均速度122vvv，故所用时间122lltvvv．【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用2202tvvax可大大简化解题过程．举一反三【变式1】在风平浪静的海面上，有一战斗机要去执行一项紧急飞行任务，而航空母舰的弹射系统出了故障，无法在短时间内修复．已知飞机在跑道上加速时，可能产生的最大加速度为5m/s2，起飞速度为50m/s，跑道长为100m．经过计算发现在这些条件下飞机根本无法安全起飞．航空母舰不得不在海面上沿起飞方向运动，从而使飞机获得初速度，达到安全起飞的目的，那么航空母舰行驶的速度至少为多大?【答案】18.4m/s【解析】若飞机从静止起飞，经过跑道100m后，速度为v．由v2＝2ax．知25100m/s1010m/s50m/sv．故航空母舰要沿起飞方向运动．取航空母舰为参考系，21010m/s31.6m/stvax，故航空母舰行驶的速度至少为(5031.6)m/s18.4m/sv．【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第5页】【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s2。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？【答案】900m类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度．【答案】a＝2.5m/s2，vA＝1m/s【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同．解法一：(基本公式法)画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：2112Axvtat．221(2)(2)2AAxvtatvt．将x1＝24m、x2＝64m、t＝4s代入上式解得：a＝2.5m/s2，vA＝1m/s．解法二：(用平均速度公式)连续的两段时间t内的平均速度分别为：1124m/s6m/s4xvt，2264m/s16m/s4xvt．B点是AC段的中间时刻，则12ABvvv，22BCvvv，12616m/s11m/s222ACBvvvvv．得vA＝1m/s，vC＝21m/s，22211m/s2.5m/s224CAvvat．解法三：(用△x＝aT2法)由△x＝aT2，得222240m/s2.5m/s4xaT．再由2112Axvtat，解得1m/sAv．【总结升华】(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力．从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力．(2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式△x＝aT2求解，这种解法往往更简捷．举一反三【变式1】一个冰球在冰面上滑行，依次通过长度都是L的两段距离，并继续向前运动，它通过第一段距离的时间为t，通过第二段距离的时间为2t，如果冰球在冰面上的运动可看做匀变速直线运动，求冰球在第一段距离末时的速度．【答案】156Lvt【解析】方法一：由题意可得，冰球做匀减速运动，其运动简图如图所示．以冰球过A点为起始时刻、起始点，设A、B、C三点的速度分别为v0、v1、v2，由012vvxt得从A到B：012vvLt，①从B到C：1222vvLt，②从A到C：02232vvLt，③联立①②③式解得156Lvt．方法二：根据2tvvt知：AB段中间时刻速度356Lvt，BC段中间时刻速度42Lvt，这两个时刻相隔时间为32t，则匀减速运动加速度342332vvLatt．据2012xvtat公式，有211(2)(2)2Lvtat．将a代入得156Lvt．【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第13页】【变式2】例题、跳伞运动员做低空跳伞表演，他从224m的高空离开飞机开始下落，最初未打开降落伞，自由下落一段距离打开降落伞,运动员以12.5m/s2的加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地的速度不得超过5m/s（g=10m/s2）．求：运动员打开降落伞时，离地面的高度至少为多少？【答案】99m【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系第15页】【变式3】火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2（相对于地面，且v1v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件?【答案】212()2vvas≥类型三、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用例3、一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m/s，试求：(1)第4s末的速度；(2)运动后7s内的位移；(3)第5s内的位移．【答案】（1）4.8m/s（2）29.4m（3）5.4m【解析】物体的初速度v0＝0，且加速度恒定，可用推论求解．(1)因为v0＝0，所以tvat，即tvt∝，故v4:v5＝4:5．第4s末的速度45446m/s4.8m/s55vv．(2)因为v0＝0，v5＝6m/s，则加速度225060m/s1.2m/s5vat，所