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第一章随机变量及其变量分布§2.1离散型随机变量（一）随机变量引例一：掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}.我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使aXb，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。例如，1000≤X≤2000表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。0X4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。定义1：若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。（二）离散型随机变量及其分布律定义2若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。定义3若随机变量X可能取值为且有（k=1,2,…,n,…）或有其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。就说公式（k=1,2,…,n,…）或表格是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作分布律有下列性质（1）；（2）由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一数列具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。例1设离散型随机变量X的分布律为求常数c。【答疑编号：10020101针对该题提问】解由分布律的性质知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。【答疑编号：10020102针对该题提问】解X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且则X的分布律为在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率。例3袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。【答疑编号：10020103针对该题提问】解X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得（三个球的编号为1,2,3）（有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配成3个）（有一球编号为5，另两个球的编号小于5）则X的分布律为例4已知一批零件共10个，其中有3个不合格，今任取一个使用，若取到不合格零件，则丢弃掉，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。【答疑编号：10020104针对该题提问】解X的取值为0，1，2，3，设表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算，得故X的分布率为在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率，比如等，求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得，如在例2中，求掷得奇数点的概率，即为P{X=1,或3,或5}=P{X=1}+P{X=3}+P{X=5}=在例4中，P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=，P{X1}=P{X=2}+P{X=3}=，P{1≤X2.5}=P{X=1}+P{X=2}=，例5若X的分布律为求（1）P(X2),【答疑编号：10020105针对该题提问】（2）P(X≤2),【答疑编号：10020106针对该题提问】（3）P(X≥3),【答疑编号：10020107针对该题提问】（4）P(X4)【答疑编号：10020108针对该题提问】解（1）P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3(2)P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5(3)P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.3+0.2=0.5(4)∵{x4}=Φ∴P{x4}=0（三）0-1分布与二项分布下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。定义4若随机变量X只取两个可能值：0,1,且P{X=1}=p,P{X=0}=q其中0p1,q=1-p,则称X服从0-1分布。X的分布律为在n重贝努利试验中，每次试验只观察A是否发生，定义随机变量X如下：因为，所以X服从0-1分布。0-1分布是最简单的分布类，任何只有两种结果的随机现象，比如新生儿是男是女，明天是否下雨，抽查一产品是正品还是次品等，都可用它来描述。例6一批产品有1000件，其中有50件次品，从中任取1件，用{X=0}表示取到次品，{X=1}表示取到正品，请写出X的分布律。【答疑编号：10020109针对该题提问】解定义5若随机变量X的可能取值为0,1,…,n，而X的分布律为;其中，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X～B（n,p）。显然，当n=1时，X服从0-1分布，即0-1分布实际上是二项分布的特例。在n重贝努利试验中，令X为A发生的次数，则;即X服从参数为n,p的二项分布。二项分布是一种常用分布，如一批产品的不合格率为p，检查n件产品，n件产品中不合格品数X服从二项分布；调查n个人，n个人中的色盲人数Y服从参数为n,p的二项分布，其中p为色盲率；n部机器独立运转，每台机器出故障的概率为p，则n部机器中出故障的机器数Z服从二项分布，在射击问题中，射击n次，每次命中率为p，则命中枪数X服从二项分布。例7某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？【答疑编号：10020110针对该题提问】解设X为10人中被治愈的人数，则X～B(10，095)，而所求概率为例8设X～B（2,p），Y～B（3,p）。设，试求P{Y≥1}.【答疑编号：10020111针对该题提问】解，知，即由此得.再由可得例9考卷中有10道单项选择题，每道题中有4个答案，求某人猜中6题以上的概率。【答疑编号：10020112针对该题提问】解：已知猜中率，用X表示猜中的题数则在计算涉及二项分布有关事件的概率时，有时计算会很繁，例如n=1000,p=0.005时要计算就很困难，这就要求寻求近似计算的方法。下面我们给出一个n很大、p很小时的近似计算公式，这就是著名的二项分布的泊松逼近。有如下定理。泊松（Poisson）定理设λ0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有证明略。由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式，其中λ=np.在实际计算中，当n≥20,p≤0.05时用上述近似公式效果颇佳。例10一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算：（1）其中至少有两件是废品的概率；【答疑编号：10020113针对该题提问】（2）其中不超过5件废品的概率。【答疑编号：10020114针对该题提问】解设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则X～B(1000,0.005)。利用近似公式近似计算，λ=1000×0.005=5.（1）（2）（四）泊松分布定义6设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…，而X的分布律为其中λ0，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为X～p(λ)即若X～p(λ)，则有例11设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.【答疑编号：10020115针对该题提问】解设X服从参数为λ的泊松分布，则由已知，得解得λ=2，则§2.2随机变量的分布函数（一）分布函数的概念对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如等事件的概率。而对于非离散型的随机变理，就无法用分布率来描述它了。首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即P{X=x}=0。于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。定义1设X为随机变量，称函数F(x)=P{X≤x},x∈(-∞,+∞)为X的分布函数。注意，随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性。例1若X的分布律为求(1)F(1),【答疑编号：10020201针对该题提问】(2)F(2.1),【答疑编号：10020202针对该题提问】(3)F(3),【答疑编号：10020203针对该题提问】(4)F(3.2)【答疑编号：10020204针对该题提问】解由分布函数定义知F(x)=P(X≤x)∴(1)F(1)=P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.3(2)F(2.1)=P(X≤2.1)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.6(3)F(3)=P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9(4)F(3.2)=P(X≤3.2)=1-P(X3.2)=1-P(X=4)=1-0.1=0.9例2设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数【答疑编号：10020205针对该题提问】解当x-1时，F(x)=P{X≤x}=P(X-1)=0当-1≤x0时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2当0≤x1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3当1≤x2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6当x≥2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1则X的分布函数F(x)为F(x)的图象见图2.1。从F(x)的图像可知，F(x)是分段函数，y=F(x)的图形阶梯曲线，在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。一般地，对于离散型随机变量X，它的分布函数F(x)在X的可能值处具有跳跃，跳跃值恰为该处的概率，F(x)的图形是阶梯形曲线，F(x)为分段函数，分段点仍是。另一方面，由例2中分布函数的求法及公式（2.2.1）可见，分布函数本质上是一种累计概率。一般地，若X的分布律是则有X的分布函数为公式：所以，例2中X的分布函数为（二）分布函数的性质分布函数有以下基本性质：（1）0≤F(x)≤1.由于F(x)=P{X≤x}，所以0≤F(x)≤1.（2）F(x)是不减函数，即对于任意的有因为当时，，即从而（3）F(-∞)=0，F(+∞)=1，即从此，我们不作严格证明，读者可从分布函数的定义F(x)=P{X≤x}去理解性质（3）。（4）F(x)右连续，即证明略。例2设随机变量X的分布函数为其中λ0为常数，求常数a与b的值。【答疑编号：10020206针对该题提问】解，由分布函数的性质F(+∞)=1，知a=1；又由F(x)的右连续性，得到由此，得b=-1.已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率：1°P{X≤b}=F(b).【答疑编号：10020207针对该题提问】2°P{aX≤b}=F(b)-F(a)，其中ab.【答疑编号：10020208针对该题提问】3°P{Xb}=1-F(b)【答疑编号：10020209针对该题提问】证1°∵F(x)=P{X≤x}∴F(b)=P{X≤b}2°P{aX≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)3°P{Xb}=1-P{X≤b}=1-F(b)例3设随机变量X的分布函数为求【答疑编号：10020210针对该题提问】【答疑编号：10020211针对该题提问】【答疑编号：10020212针对该题提问】解例4求0-1分布的x的分布函数【答疑编号：10020213针对该题提问】解：已知所以例5设X～F(x)=a+barctanx(-∞x+∞)求（1）a与b【答疑编号：10020214针对该题提问】（2）P(-1X≤1)【答疑编号：10020215针对该题提问】解：（1）∵F(-∞)=0，F(+∞)=1解得,（2）§2.3连续型随机变量及概率密度（一）连续型随机变量及其概率密度定义若随机变量X的分