不等式的证明

不等式证明的基本方法高考明方向1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．3.能利用均值不等式求一些特定函数的最值.备考知考情1.不等式的证明是考查的重点，主要考查学生分析解决问题的能力．题型主要为解答题，难度为中档题．如全国卷Ⅰ22题．2.柯西不等式主要用来求最值和证明不等式，要能够将所给关系式通过“配”“凑”，转化为可以利用柯西不等式的形式．一般以二元、三元为主，难度中等.知识梳理知识点一基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．知识点二柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(i＝1na2i)(i＝1nb2i)≥(i＝1naibi)2，当且仅当b1a1＝b2a2＝…＝bnan(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立.知识点三不等式证明的基本方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．对点自测知识点一基本不等式1.若0ab1，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最大的一个是________．解析∵a＋b2ab，a2＋b22ab.又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．∵0a1,0b1，∴a(a－1)＋b(b－1)0.∴a2＋b2a＋b.答案a＋b2．已知x，y∈R，且xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为________．解析1＋1x1＋1y≥1＋1xy2＝4.答案4知识点二柯西不等式3.已知x，y，z为正数，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是__________．解析x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋1·z)2×13＝13.答案134．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________．解析(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．∴(a＋b＋c)2≤3，故a＋b＋c的最大值为3.答案3知识点三不等式证明的基本方法5.已知a、b、m均为正数，且ab，M＝ab，N＝a＋mb＋m，则M、N的大小关系是________．解析M－N＝ab－a＋mb＋m＝ma－bbb＋m0，即MN.答案MN6．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.证明因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.问题探究问题1在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系？综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达．问题2在什么条件下用分析法证明不等式？如果不适合用反证法、归纳法，而综合法又不易操作时，通过分析又容易找到使要证明结论成立的已知条件，这时用分析法．问题3用反证法证明不等式要把握哪几方面内容？(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．高频考点考点一比较法证明不等式【例1】已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.听课记录2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．∵a≥b0，∴a－b≥0，a＋b0,2a＋b0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.【规律方法】(1)一般地，当所证不等式的两边均为整式(多项式)时，可考虑用作差比较法．(2)步骤：作差、变形、判断符号、得出结论．(3)变形整理是关键，常用的变形方法有因式分解、配方、通分、拆项、添项(如本题解法中利用了因式分解)等．变式思考1设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明a3＋b3－ab(a2＋b2)＝(a3－a2ab)＋(b3－b2ab)＝a2a(a－b)－b2b(a－b)＝(a－b)(a5－b5)．当a≥b≥0时，a≥b且a5≥b5，当ba≥0时，ab且a5b5，∴a3＋b3－ab(a2＋b2)≥0.∴a3＋b3≥ab(a2＋b2)．考点二综合法与分析法证明不等式【例2】(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3；(2)设a，b，c0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.听课记录(1)因为x0，y0，x－y0,2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥33x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)因为a，b，c0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．∴原不等式成立．【规律方法】综合法是由因导果，要求考生要有较强的观察与变形的能力．分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式要求严谨，二者各有所短，相互补充．凡是能用分析法证明的不等式，一定可以用综合法证明．21,,,,3caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd21.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加变式思考2(1)已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.(2)已知abc，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac3a.证明(1)证法1：1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)·1a＋1b＋1c≥3·3abc·3·31abc＝9(当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立)．证法2：1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立)．(2)要证b2－ac3a，只需证b2－ac3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)3a2，只需证2a2－ab－b20，只需证(a－b)(2a＋b)0，只需证(a－b)(a－c)0.∵abc，∴a－b0，a－c0.∴(a－b)(a－c)0显然成立，故原不等式成立．考点三放缩法证明不等式【例3】已知n∈N*，求证：nn＋12＜1×2＋2×3＋…＋nn＋1＜n＋122.听课记录k＜kk＋1＜k＋k＋12＝12(2k＋1)(k＝1,2，…，n)，若记Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，则Sn＞1＋2＋…＋n＝nn＋12，Sn＜12(3＋5＋…＋2n＋1)＝12(n2＋2n)＜n＋122，故原不等式成立．【规律方法】(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k2＜1kk－1，1k2＞1kk＋1，1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1.上面不等式中k∈N*，k＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a＋mb＋m”，添加或减少项，利用有界性等．(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．变式思考3求证：1＋12＋13＋…＋1n＜2n(n∈N*)．证明∵k－k－1＝1k＋k－1＞12k，∴1k＜2(k－k－1)．令k＝1,2,3，…，n，则有11＜2(1－0)，12＜2(2－1)，13＜2(3－2)，…1n＜2(n－n－1)．各式相加，1＋12＋13＋…＋1n＜2n(n∈N*)．考点四柯西不等式的应用【例4】(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r为正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.听课记录(1)∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，“＝”成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)，知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9.即p2＋q2＋r2≥3.【规律方法】如果没有定值，就不能直接利用柯西不等式求解最值，此时要灵活利用已知条件通过变形进行处理，如添项、拆项、重排、改变式子的结构等方法，构造出定值之后才能利用柯西不等式求解最值．变式思考4设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，则a＋b＋2c的最大值是________，此时a＋b＋c＝________.解析由柯西不等式得(a＋b＋4c2)1＋1＋12＝[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·12＋12＋222≥(a＋b＋2c)2，因此a＋b＋2c≤a＋b＋4c21＋1＋12＝102×a＋b＋4c2＝102，当且仅当a1＝b1＝2c22＝22c，即a＝b＝22c，此时a＝b＝8c2，因此a＋b＋4c2＝8c2＋8c2＋4c2＝20c2＝1，解得c＝510，a＝b＝25，因此a＋b＋c＝25＋25＋510＝8＋510.答案1028＋510