搜索
圆与最值问题一．中点模型。例1：如图所示的平面直角坐标系中，点A（-2，0），B（0，2），以B为圆心作一个半径为1的圆，P是圆上的动点，连接AP，取AP中点M，连接OM，求OM的最小值。例题图此题有两种方法法一：取点A’（2，0），连接A’B和A’P，OM为三角形AA’P的中位线，就有OM=A’P，那么只要求A’P的最小值即可，根据A’BP为三点形，A’P最小为那么OM最小就为。法二：如右图，连接BP，AB，并取AB中点G，连MG、OG易得MG为三角形APB中位线，MG=，因此M在以G为圆心，半径为的圆上运动，OMG为三点形，MO最小为OG-MG=两种方案都可以解决该问题，但是思路却各有不同，前者的思路在于转化线段，更加巧妙，但难寻一般规律，后者思路在于求M的轨迹，更有逻辑性，在此文档中，我们将探讨后一种方法的规律与运用在初中的圆与最值中，有这样的规律：在平面内，由一定圆上一个主动点，通过除反演圆和部分特殊边角变换以外的变换后得到的轨迹为圆的从动点，其动点轨迹的圆心为其主动点圆心通过与之相同变换得到的点。这句话不好理解，但是通过例题，可以慢慢体会这句话的含义例2：如图所示，等腰Rt△ABC、DBE共顶点B，，连CE并取其中点F，连BF，若AB=，BD=2，求BF的最小值。不妨将三角形ABC固定，旋转BDE，E点的轨迹是如图示的圆，E点的变换是取E、C连线的中点，那么我们把点B作相同的变换，即取B、C之连线的中点M，连接MF，可得中位线，MF=，那么，F就在以MF为圆心，半径的圆上运动，由BFC三点形，可知BF最小为BM-MF=二.旋转模型首先看两个基础模型1.如右图，圆C外的一点A，B是圆C上一动点，连AB，将AB顺时针旋转90°，得AB’，如何确定B’的运动轨迹？如右图，B的变换是绕A顺时针旋转90°，那么我们将圆心C作同样的变换得到C’，连接BC，B’C’，易得△ABC≌△AB’C’，因此B’的运动轨迹是以C’为圆心，半径为BC的圆2.如图，A是圆O外一点，B是圆上一动点，连接AB，将AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，如何确定点C的运动轨迹？如右图，连接AO，并绕点O逆时针旋转90°（B点的变换是和A构造等腰Rt三角形，因此我们也让O和A构造同方向的等腰Rt三角形），得到OD，连接AC，AD，OB，△ABC∽△AOD，相似三角形成对出现，易证△ACD∽△ABO，CD=OB因此C在以D为圆心，半径为OB的圆上运动。熟悉了这个规律，我们看下一道例题。例3.矩形ABCD，AB=，AD=4，将AB绕点B旋转得到BF，E为AD中点，连EF并向下作正三角形EFG，连AG，求AG的最小值。连BE，CE发现三角形CBE为正三角形，连CG，易得△BFE≌CGE，可知CG=BG=AB=，如果连AC，AC=，由三点形，那么AG最小为AM-MG=例4.如图△ABC的两顶点A、B在半径是的圆O上∠A=60°，∠B=30°，固定点A、B在圆O上运动，求OC的最小值。连OB、OA，并构造30°、60°、90°的三角形AOE，连接EP由于相似三角形成对出现，那么△APE∽△ABO，PE=，OC最小值为原方法更加简单，这里为了强调之前的规律，于是运用了比较复杂的方法三.多伴随与多动点之前讨论的都是由一个主动点，引出一个从动点的动点问题，接下来我们将讨论几个主动点或由几个伴随点的问题（以下内容绝大部分不属于中考范围，请根据个人能力进行学习）例5.如图，△ABC，∠A=45°，BC为定值，分别以点B、C为圆心作圆B（半径为2）、圆C（半径为），圆B交AB于点D，圆C交AC于点E，连接DE，DE中点P，请指出P点的运动轨迹。要解决这个问题首先要猜想圆心所在位置，根据之前的规律，我们猜想圆心是BC中点于是我们取B超中点F，连EF和FP，倍长EF得到FG，连接BG、DG，那么就有BD=2，BG=又因为BG和AC平行，易得∠DBG=135°，双勾股（省略）可以得到DG=，易得PF为三角形EDG中位线，那么PE为。例6.如图所示的等腰Rt三角形ABC，∠B=90°，AB=3，分别过点B、C作两个半径为1的圆，P、Q分别是两圆上的动点，连接AP、AQ，AP中点M、AQ中点N，连MN，MN中点G，求A、G距离的最小值。首要连接PQ，可知MN为三角形APQ中位线（实际上是三点形）取PQ中点I，连GI，AG，由相似可知AGI三点共线，那么AI=2AG现在问题就变成了求AI的最小值。因为P、Q两个动点都可以影响I的位置，因此求I的轨迹是不现实的，那么想要解决这个问题，就要求I的最大移动范围。很容易知道，当PQ为两圆公切线时，I在其最大移动范围的圆上，我们令P、Q同时顺时针（逆时针也可以）匀速旋转一周，所得的I的轨迹即为I的最大移动范围（蓝轨迹）。这个最大移动范围是以BC中点为圆心，半径为1的圆，之后的解法同之前所讲的方法，得到AI最小为那么AG最小值即为。四.阿式圆阿式圆是中考中的常见题型，在很多地区的中考中都曾考到。下面是阿式圆的基本模型。如图所示，圆O外两点A、B连OB，圆O半径r=k·OB，在圆上找一点D，使AD+k·BD最小。连接OD，构造子母型相似（△ODE∽△OBD）可知DE=k·BD，即BD的映射线，那么我们只需要让AD+DE最小即可，连接AE，与圆的交点即为所求D。如上即为初中部分可能会涉及的圆与最值问题部分联系如下如图，三角形ABC，AB=2，∠C=90°，将C点绕点A逆时针旋转90°得到点D，连接BD，求BD的最大值。如图所示，正三角形ABC边长为3，分别以A、B、C为圆心作三个半径为1的圆，E、F、G分别是这三个圆上的动点，连接EF、EG、FG，取△ABC重心O，和△EFG重心O’，连接OO’,求OO’的最大值如图，正方形ABCD边长为2，对角线AC、BD交于O，一圆过点A、O、D，该圆上一动点P，连BP、CP，求BP+CP的最小值