高一数学专题：函数与方程思想2

第1讲函数与方程思想思想方法概述热点分类突破真题与押题思想方法概述1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.2.和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解.(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一函数与方程思想在不等式中的应用热点二函数与方程思想在数列中的应用热点三函数与方程思想在几何中的应用热点分类突破例1(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.热点一函数与方程思想在不等式中的应用解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4；当x0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，且g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.答案4(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是__________.解析设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数.又当x0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，所以x0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也是增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).所以，由图可知F(x)0的解集是(－∞，－3)∪(0,3).答案(－∞，－3)∪(0,3)(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)0或f(x)0恒成立，一般可转化为f(x)min0或f(x)max0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.思维升华变式训练1(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A.x＋y≥0B.x＋y≤0C.x－y≤0D.x－y≥0解析把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y.B(2)已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A.m≥32B.m32C.m≤32D.m32解析因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m.所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32，故选A.答案A例2已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；热点二函数与方程思想在数列中的应用解因为a1＝2，＝a2·(a4＋1)，a23又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.解因为Sn＝n(n＋1)，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3，令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解.思维升华变式训练2(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________.解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.4(2)已知函数f(x)＝(13)x，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则an的最小值为()A.－1B.1C.23D.－23解析由题设，得a1＝f(1)－c＝13－c；a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29；a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{an}是等比数列，∴(－29)2＝(13－c)×(－227)，∴c＝1.又∵公比q＝a3a2＝13，∴an＝－23(13)n－1＝－2(13)n，n∈N*.且数列{an}是递增数列，∴n＝1时，an有最小值a1＝－23.答案D热点三函数与方程思想在几何中的应用例3已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；解由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)当△AMN的面积为103时，求k的值.解由y＝kx－1，x24＋y22＝1得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2.所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝21＋k24＋6k21＋2k2.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2.由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.所以，k的值为1或－1.几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.思维升华变式训练3(1)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________.解析设点B的坐标为(x0，y0)，∵x2＋y2b2＝1，且0b1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0).∵AF2⊥x轴，∴A(1－b2，b2).∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1→＝3F1B→，∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0).∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B的坐标为－531－b2，－b23.将点B－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.答案x2＋32y2＝1(2)若a1，则双曲线x2a2－y2a＋12＝1的离心率e的取值范围是()A.(1，2)B.(2，5)C.[2，5]D.(3，5)解析e2＝(ca)2＝a2＋a＋12a2＝1＋(1＋1a)2，因为当a1时，01a1，所以2e25，即2e5.B1.在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量.本讲规律总结2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.3.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.4.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟341.(2014·辽宁)已知a＝，b＝log213，c＝，则()A.abcB.acbC.cabD.cba121log3解析0a＝20＝1，b＝log213log21＝0，132c＝＝1，121log3121log2即0a1，b0，c1，所以cab.C13212真题感悟342.(2014·福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A.52B.46＋2C.7＋2D.6212真题感悟34解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.x210令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，12真题感悟34即r＝52.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋2＝62，故选D.答案D3.(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______.12真题感悟34bx解析y＝ax2＋bx的导数为y′＝2ax－bx2，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－72.由题意得4a＋b2＝－5，4a－b4＝－72，解得a＝－1，b＝－2，则