高中数学23个求极值和值域专题 20

23个求极值和值域专题1、求函数2fxxx3x2()的值域.2、求函数fxx2713xx()的值域.3、求函数fxx5243x()的值域.4、求函数2x1fxx1()的值域.5、已知函数222xbxcfxx1()（其中b0）的值域是13[,]，求实数bc,.6、已知：xyz,,为正实数，且xyzxyz，求函数222xyzfxyzxyz(,,)的最小值.7、已知：222x3xy2y1，求：fxyxyxy(,)的最小值.8、设函数2113fxx22()在区间ab[,]的最小值为2a，最大值为2b，求区间ab[,].9、已知：22xy25，求函数fxy8y6x508y6x50(,)的最大值.10、求函数：22fxx2x10x16x68()的最小值.11、求函数：22xxfxx4x4()的值域.12、已知实数123xxx,,满足321xxx123和222321xxx323，求3x的最小值.13、求函数：222fxy1yxy32xy6(,)()()()的最小值.14、已知：x1y25，求函数：fxyxy(,)的最小值.15、已知点Pxy(,)在椭圆22xy149上，求fxy2xy(,)的最大值.16、求函数：fx2x83x()的值域.17、求函数：2xfx1x2x22()的值域.18、求函数：fx1x1x2x2x3x3x()sinsinsinsinsinsin的最大值.19、设：ixi1232003(,,,...,)为正实数，且满足122003xxx2003...，试求：12232002200320031yxxxxxxxx...的最小值.20、已知xyz,,为正实数，且满足222222xyz21x1y1z，求：222xyzfxyz1x1y1z(,,)的最大值.21、设为锐角，求：11f11()()()sincos的最小值.22、设为锐角，求证：2sintan.23、已知xyz,,为正实数，求证：222xy2yz52xyz.23个求极值和值域专题解析1、求函数2fxxx3x2()的值域.解析：函数2fxxx3x2xx1x2()()()的定义域为：12(,][,).函数的导函数为：223x2fx131x22'()()()⑴当x1(,]时，3x02，则223x2131x22()()故223x2fx1031x22'()()()即：函数fx()在x1(,]区间为单调递减函数，故：fxf11()()；xxfxfxfx()lim()lim()222222xxx3x2xx3x2xx3x2x()()lim()lim22xx2233x233x11232x3x2x11xxlimlim故：函数在该区间的值域是312[,).⑵当x2[,)时，3x02，则223x2fx1031x22'()()()即：函数fx()在x2[,)区间为单调递增函数，故：fxf22()()；2xxfxfxx3x2x()lim()lim()故：函数在该区间的值域是2[,).综上，函数的值域是3122[,)[,).本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.2、求函数fxx2713xx()的值域.解析：函数fx()的定义域是：x013[,].待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：ABC0,,，则柯西不等式为：2222111Ax27B13xCxfxABC[()()()][]()即：2111fxABCx27A13BABC()[()()][]令：ABC0，即：BAC①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：Ax27Cx②B13xCx③由②得：22x27CxA，即：22227CAxA，即：22227AxCA④将①④代入③得：2222222227A27AAC13CCACA()()即：222222AC13C13A27A27AC()()即：22222AC13C40A27AC()()，即：2221340AC27AC()()⑤试解⑤，由于27333，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：AC3，且2213403AC.则：A1，C2，B3代入④得：222227A27x9CA21，即x9时函数取得极大值.函数极大值为fx9927139962311()⑴当x09[,]时，函数fx()在本区间为单调递增函数.故：fxf0271303313()()即：函数fx()在x09[,]区间的值域是331311[,]⑵当x913[,]时，函数fx()在本区间为单调递减函数.故：fxf131327131313401321013()()即：函数fx()在x913[,]区间的值域是2101311[,]综上，函数fx()的值域是331311[,].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数fxx5243x()的值域.解析：函数fx()的定义域是：x58[,].待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：AB0,，则柯西不等式为：22211Ax5B243xfxAB[()()][]()即：211fxA3Bx5A24BAB()[()()][]令：A3B0，即：A3B①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：Ax5B243x②即：22Ax5B243x()()，即：22x53B8xA，即：222x58x3BA8xA即：22233BA8xA，即：2223A8x3BA，即：2223Ax83BA③将①式代入③式得：22227B27923x88812443B9B当23x4时，函数fx()达到极大值.极大值为：232323332424323f5243444444()3324327234422函数的导函数为：13243x3x5fx2x52243x2x5243x'()⑴当23x54[,]区间时，fx0'()，函数fx()单调递增.故：fxf5024353()()即：函数fx()在本区间的值域是323[,].⑵当23x84[,]区间时，fx0'()，函数fx()单调递减.故：fxf88503()()即：函数fx()在本区间的值域是323[,].综上，函数fx()的值域是323[,].本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数2x1fxx1()的值域.解析：函数fx()的定义域是：x11(,)(,).则函数fx()为：222x1x1fxgxx1x1()()()（当x1时取负号，当x1时取正号）于是函数的极值在：gx0'()即：222432x1x12xx12gxx1xx10x1x1()()()'()[()()]()()即：2x1xx10()()，即：x1⑴在x1(,)区间，函数fx()的极值为：2112fx1112()()在区间的边界有：222xxx211x1xfx11x11xlim()lim()lim()()()22x1x1x1fxx1lim()lim()()故：函数fx()在该区间的值域是22(,].⑵在x1(,)区间，函数222x12xfx1x1x1()()()，为单调递减函数.故有：22x1x1x1fxfxx1()lim()lim()()；222xxxx12xfxfx11x1x1()lim()lim()lim()()()故：函数fx()在该区间的值域是1(,).综上，函数fx()的值域是212(,](,).本题方法属“单调性法”5、已知函数222xbxcfxx1()（其中b0）的值域是13[,]，求实数bc,.解析：函数的定义域为xR.将函数变形为：22yx12xbxc()，即：22yxbxcy0()()其判别式不等式为：222b42ycyb8c42cy4y0()()()()即：22b2c2cyy02[()]()①而函数fx()的值域是13[,]，即：y13y0()()，即：234yy0②对比①②两式得：c2，2b2c32()，即2b12()，因b0，故：b2故：实数b2，c2.此法称为“判别式法”.6、已知：xyz,,为正实数，且xyzxyz，求函数222xyzfxyzxyz(,,)的最小值.解析：首先设xyza，代入xyzxyz得：33aa，即：a3，则：⑴当xyz33时，由均值不等式nnQA，即：2222xyzxyz33得：22222xyzxyzxyz33()()则：2222xyzxyzxyzfxyz3xyz3xyz3()(,,)⑵当xyz33时，由均值不等式nnAG，即：22223xyzxyz3()得：22223xyz3xyz()则：222233333xyzxyz33fxyz3xyzxyzxyz3()(,,)()()⑶当xyz33时，由均值不等式nnQA，即：2222xyzxyz3()代入已知条件xyzxyz，得：22222xyzxyzxyz33()()则：2222xyzxyzxyz33fxyz3xyz3xyz33()(,,)故：由⑴、⑵、⑶得，222xyzfxyzxyz(,,)的最小值是3.本题先确定xyz均值，然后在xyz均值和xyz均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：222x3xy2y1，求：fxyxyxy(,)的最小值.解析：由已知条件222x3xy2y1得：2xy2xy1()代入fxyxyxy(,)得：2fxyzxyxyxy2xy1(,)()即：22xyxy1z0()()()令：txy，则方程变为：22tt1z0()采用判别式法得：21421z0()，即：11z8()，即：9z8故：fxyxyxy(,)的最小值是98.此题采用的是“判别式法”8、设函数2113fxx22()在区间ab[,]的最小值为2a，最大值为2b，求区间ab[,].解析：首先，fx()是一个偶函数，在0(,)区间单调递增，在0(,)区间单调递减.⑴当0ab时，fx()为单调递减函数，即：fafb()().故：fa()是最大值为2b，fb()是最小值为2a.即：22113faa2b22113fbb2a22()()即：22a4b130b4a130（*）（*）两式相减得：22ab4ab0()()，即：ab4①则:2ab16()，即：22ab162ab()②（*）两式相加得：22ab4ab26()()将①②式代入后化简得：ab3③由①③得：a1，b3.则