高中数学复习专题：导数及其应用

1.1变化率与导数第1课时变化率问题、导数的概念不断往上爬，不是为了被世界看见，而是想看见整个世界。Fighting！！！[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P6的内容，回答下列问题．(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝33V4π.①当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r1－r01－0≈0.62(dm/L)．②当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r2－r12－1≈0.16(dm/L)．③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：rV2－rV1V2－V1.(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：S)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝h0.5－h00.5－0＝4.05(m/S)．②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？提示：v＝h2－h12－1＝－8.2(m/S)．③在t1≤t≤t2这段时间里，运动员的平均速度v又是多少？其中t1t2∈0，6549提示：v＝ht2－ht1t2－t1.2．归纳总结，核心必记(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子fx2－fx1x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率ft0＋Δt－ft0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.[问题思考](1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx表示什么？提示：表示割线AB的斜率．(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率ΔyΔx可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？提示：v＝v1＋Δt－v11＋Δt－1.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；②联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．[课前反思](1)平均变化率的定义是：(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？(3)导数的定义是什么？如何表示？(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？知识点1求函数的平均变化率[思考1]平均变化率可用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．[思考2]如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？提示：平均变化率为fx2－fx1x2－x1.讲一讲1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[尝试解答](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.类题·通法(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式．练一练1．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．知识点2求瞬时速度某物体按S＝f(t)的规律运动．[思考1]该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？提示：v＝ft0＋Δt－ft0Δt＝ΔsΔt.v0＝limΔt→0ΔsΔt.[思考2]如何求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限？名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．讲一讲2．若一物体的运动方程为S＝29＋3t－32，0≤t3，3t2＋2，t≥3，(路程单位：m，时间单位：S)．求：(1)物体在t＝3S到t＝5S这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1S时的瞬时速度．[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3S到t＝5S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以ΔsΔt＝3Δt2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．类题·通法求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S＝S(t)；(2)求时间改变量Δt，位移改变量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)；(3)求平均速度ΔsΔt；(4)求瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt.练一练2．一质点按规律S(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：S)，若该质点在t＝2S时的瞬时速度为8m/S，求常数a的值．解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt，故在t＝2S时，瞬时速度为S′(2)＝limΔx→0ΔsΔt＝4a(m/S)．由题意知，4a＝8，所以a＝2.知识点3利用定义求函数在某一点处的导数[思考]任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．因为ΔyΔx＝f0＋Δx－f0Δx＝|Δx|Δx＝1，Δx0，－1，Δx0，所以当Δx→0时，ΔyΔx的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．讲一讲3．利用导数的定义求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．[尝试解答]Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔt→0(3Δx＋4)＝4.类题·通法求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．练一练3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法，见讲1；(2)瞬时速度的求法，见讲2;(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1求函数的平均变化率1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2解析：选C根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝2a＋b－a＋b2－1＝a＝3.2．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点32，314及邻近一点32＋Δx，314＋Δy，则ΔyΔx＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3解析：选D∵Δy＝f32＋Δx－f32＝－3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝－3Δx－Δx2Δx＝－3－Δx.3．求函数y＝f(x)＝1x在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝1－1＋Δx1＋1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋1＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝－11＋1＋Δx1＋Δx.题组2求瞬时速度4．某物体的运动路程S(单位：m)与时间t(单位：S)的关系可用函数S(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1S时的瞬时速度(单位：m/S)为()A．1B．3C．－1D．0答案：B5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．解：物体在t0时的平均速度为v＝st0＋Δt－st0Δt＝t0＋Δt3－2－t30－2Δt＝3t20Δt＋3t0Δt2＋Δt3Δt＝3t20＋3t0Δt＋(Δt)2.因为limΔt→0[3t20＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t20，故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t20m/S.6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27m/S，求t0的值．解：由v＝st0＋Δt－st0Δt＝t0＋Δt3－2－t30－2Δt＝3t20Δt＋3t0Δt2＋Δt3Δt＝3t20＋3t0Δt＋(Δt)2，因为limΔt→0[3t20＋3t0Δt＋(Δt)2]＝3t20.所以由3t20＝27，解得t0＝±3，因为t00，故t0＝3，所以物体在3S时的瞬时速度为27m/S.题组3利用定义求函数在某一点处的导数7．设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋3Δx－f13Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)解析：选AlimΔx→0f1＋3Δx－f13Δx＝f′(1)．8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．