7.第七节--二次函数的实际应用

目录1玩转安徽10年中考真题2重难点突破3核心素养提升第七节二次函数的实际应用返回目录玩转陕西10年中考真题玩转安徽10年中考真题二次函数的实际应用（10年6考）命题点11.(2014安徽12题5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系为y＝________．类型一增长率问题(仅2014年考查)a(1＋x)2第七节二次函数的实际应用返回目录38类型二最大利润问题(10年3考)2.(2018安徽22题12分)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；第七节二次函数的实际应用返回目录解：(1)根据题意可知：第二期培植盆景(50＋x)盆，培植花卉100－(50＋x)＝(50－x)盆，则第二期盆景售完后的利润W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8000，(5分)第二期花卉售完后的利润W2＝19(50－x)＝－19x＋950；(6分)第七节二次函数的实际应用返回目录(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？(2)根据题意可知，总利润W为W1和W2之和，因此可得函数关系式为：W＝W1＋W2＝－2x2＋41x＋8950＝－2(x－)2＋，(11分)由于x取整数，根据二次函数的性质，得：当x＝10时，总利润W最大，最大总利润为9160元．(12分)414732818第七节二次函数的实际应用返回目录3.(2017安徽22题12分)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；解：(1)设y＝kx＋b，由题意得，解得，∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋200(40≤x≤80)；(4分)501006080kbkb2200kb第七节二次函数的实际应用返回目录(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)；(7分)第七节二次函数的实际应用返回目录(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？(3)W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，其中40≤x≤80，∵－20，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当70x≤80时，W随x的增大而减小；∴当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．(12分)第七节二次函数的实际应用返回目录4.(2013安徽22题12分)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？销售量p(件)p＝50－x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时，q＝30＋x当21≤x≤40时，q＝20＋12525x第七节二次函数的实际应用返回目录解：(1)①对于q＝30＋x，当q＝35时，即30＋x＝35，解得x＝10，在1≤x≤20范围内；②对于q＝20＋，当q＝35时，20＋＝35，解得x＝35，经检验x＝35是原方程的解且在21≤x≤40范围内．综上所述，第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件；(3分)1212525x525x第七节二次函数的实际应用返回目录(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系；(2)①当1≤x≤20时，y＝(30＋x－20)(50－x)＝－x2＋15x＋500；(5分)②当21≤x≤40时，y＝(20＋－20)(50－x)＝－525.1212525x26250x即y＝;(6分)21155001202262505252140xxxxx第七节二次函数的实际应用返回目录(3)这40天中，该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？(3)①当1≤x≤20时，y＝－x2＋15x＋500＝－(x－15)2＋612.5，∵－＜0，∴当x＝15时，y最大，y最大＝612.5(元)；(8分)121212第七节二次函数的实际应用返回目录②当21≤x≤40时，y＝－525，∵26250＞0，∴的值越大(即x越小)，y的值越大．∴当x＝21时，y最大，y最大＝1250－525＝725(元)，又∵612.5＜725，∴第21天获得的利润最大．综上所述，这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利润是725元．(12分)26250x26250x第七节二次函数的实际应用返回目录类型三抛物线型问题(仅2012年考查)5.(2012安徽23题14分)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；第5题图解：(1)当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6，由其图象经过点(0，2)，得36a＋2.6＝2，解得a＝－.∴y＝－(x－6)2＋2.6；(3分)160160第七节二次函数的实际应用返回目录(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(2)由(1)知当h＝2.6时，y＝－(x－6)2＋2.6，∴当x＝9时，y＝－×(9－6)2＋2.6＝2.45.∵2.452.43，∴球能越过球网．(4分)当x＝18时，y＝－×144＋2.6＝0.2，∵0.20，∴球会出界；(5分)160160160第七节二次函数的实际应用返回目录(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．(3)若符合题意，则当x＝9时，y2.43.当x＝18时，y≤0，(7分)∵抛物线y＝a(x－6)2＋h过点A(0，2)，∴36a＋h＝2，即a＝.(10分)即，解①式为h，解②式为h≥，即h≥.∴若球一定能越过球网，又不出边界，则h的取值范围是h≥.(14分)236h19375838383222962.43362186036hhhh①②第七节二次函数的实际应用返回目录类型四几何图形面积问题(仅2015年考查)6.(2015安徽22题12分)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；第6题图第七节二次函数的实际应用返回目录解：(1)设AE＝a，由题意得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝AE＝a，AB＝AE＋BE＝a，(3分)由题意得2x＋3a＋2·a＝80，∴a＝20－x，(4分)∵BC＝x0，AE＝20－x0，∴0x40，∴y＝AB·BC＝a·x＝(20－x)x，即y＝－x2＋30x(0x40)；(8分)12121212121232323234第七节二次函数的实际应用返回目录(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，又∵－＜0，对称轴x＝20，0x40，(10分)∴当x＝20时，y有最大值，最大值是300平方米．(12分)343434第七节二次函数的实际应用返回目录重难点突破二次函数的实际应用类型一最大利润问题例1长丰县是国家无公害草莓生产示范基地，生产的草莓是安徽省特色水果，也是安徽省的特产之一．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为20元/kg的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/kg，经试销发现，销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．(1)求y与x的函数表达式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．第七节二次函数的实际应用返回目录例1题图【分层分析】(1)由图象可知，一次函数经过点___________，________，利用待定系数法即可确定函数表达式；(2)根据题意可得，单个利润为________元，销售量y＝___________，根据总利润＝单个利润×销售量可得，利润W关于x的表达式为W＝___________________，根据函数性质结合自变量取值范围利用配方法得出最大值．【自主作答】(20，300)(30，280)(x－20)－2x＋340(x－20)(－2x＋340)第七节二次函数的实际应用返回目录解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得：解得：∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)；2030030280kbkb2340kb(2)由已知得：W＝(x－20)(－2x＋340)＝－2x2＋380x－6800＝－2(x－95)2＋11250，∵－2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为－2(40－95)2＋11250＝5200元．第七节二次函数的实际应用返回目录满分技法1.如何求关于利润的二次函数表达式：(1)若题目给出销售量与单价之间的函数表达式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数表达式，则要先求出销售量与单价之间的函数表达式，表达式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．第七节二次函数的实际应用返回目录满分技法2.如何求二次函数的最值：(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，当a0时，有最小值，当a0时，有最大值；(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．2ba244acba244acba244acba第七节二次函数的实际应用返回目录例2某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶2.设BG的长为2x米．例2题图(1)用含x的代数式表示DF；(2)x为何值时，区域③的面积为180平方米；(3)x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？类型二几何图形面积问题第七节二次函数的实际应用返回目录【分层分析】(1)根据题意得AG＝________，根据正方形和矩形的性质，已知周长，可求得DF；(2)DF的长为________，DC的长为________，根据矩形的面积公式，可列方程__________________＝180，解方程即可求解；(3)面积S与x的关系式为S＝____________，利用二次函数性质求最值即可．【自主作答】3x48－12x5x5x(48－12x)5x(48－12x)第七节二次函数的实际应用返回目录解：(1)∵区域①是正方形，区域②和③是矩形，AG∶BG＝