8.第六节--解直角三角形及其应用

目录1玩转安徽10年中考真题2考点精讲3核心素养提升第六节解直角三角形及其应用返回目录玩转陕西10年中考真题玩转安徽10年中考真题1．(2012安徽19题10分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2.求AB的长．第1题图解直角三角形（仅2012年考查）命题点13第六节解直角三角形及其应用返回目录3×12解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴AD＝AC·cos30°＝2×＝3，CD＝AC·sin30°＝2×＝.(5分)在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.答：AB的长为3＋.(10分)33×323333第1题解图第六节解直角三角形及其应用返回目录直角三角形的实际（必考，2019年与垂径定理的应用结合考查）命题点2类型一母子型(10年3考)模型分析基本图形辅助线第六节解直角三角形及其应用返回目录总结作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD，根据已知条件求解作CD⊥AD，构造Rt△ACD和Rt△BCD，根据已知条件求解作CE⊥AB，构造Rt△ACE和矩形BDCE，根据已知求解基本图形变形辅助线——第六节解直角三角形及其应用返回目录总结已知Rt△ABC和Rt△CDE，根据已知条件求解作BE⊥AD，BF⊥CD，构造Rt△ABE和Rt△BCF和矩形BEDF，根据已知条件求解作BF⊥AE，CG⊥DE，构造Rt△ABF和Rt△CDG和矩形BFEG，根据已知条件求解第六节解直角三角形及其应用返回目录第2题图2．(2017安徽17题8分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处．假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41)2第六节解直角三角形及其应用返回目录解：在Rt△BDF中，由sinβ＝可得，DF＝BD·sinβ＝600·sin45°＝600×＝300≈423(m)，(3分)在Rt△ABC中，由cosα＝可得，BC＝AB·cosα＝600·cos75°≈600×0.26＝156(m)，(6分)∴DE＝DF＋EF＝DF＋BC＝300＋156≈579(m)．答：DE的长约为579m．(8分)DFBD222BCAB2第六节解直角三角形及其应用返回目录3.(2020安徽18题10分)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.)第3题图第六节解直角三角形及其应用返回目录解：由题意得，在Rt△ABD与Rt△CBD中，AD＝BD·tan∠ABD≈0.9BD，CD＝BD·tan∠CBD≈0.75BD，∴AC＝AD－CD＝0.9BD－0.75BD＝0.15BD，∵AC＝15米，∴BD＝100米，∴CD＝0.75BD＝75米．答：山高CD为75米．(10分)第六节解直角三角形及其应用返回目录类型二背靠背型(2015年18题)模型分析基本图形辅助线总结作AD⊥BC，构造Rt△ABD和Rt△ACD，根据已知条件求解作AE⊥BC，构造Rt△ABE和Rt△ACE、矩形ADCE，根据已知条件求解作AE⊥BC、DF⊥BC，构造Rt△ABE和Rt△CDF、矩形AEFD，根据已知条件求解第六节解直角三角形及其应用返回目录4.(2015安徽18题8分)如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度．(参考数据：≈1.7)3第4题图第六节解直角三角形及其应用返回目录解：如解图，过点B作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12米，在Rt△BCE中，BE＝(米)，(3分)在Rt△BDE中，∵∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝12(米)，(6分)∴CD＝CE＋DE＝12＋12≈32.4(米)．答：楼房CD的高度约为32.4米．(8分)33第4题解图12123tantan30CECBE第六节解直角三角形及其应用返回目录类型三拥抱型(2018年19题)模型分析基本图形辅助线_______________第六节解直角三角形及其应用返回目录总结在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝BC，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键在Rt△ABC和Rt△DEF中，根据已知条件分别解两个直角三角形作AG⊥DE于点G，构造Rt△ADG和矩形ABEG，再结合Rt△ABC和Rt△DEF，根据已知条件分别解三个直角三角形第六节解直角三角形及其应用返回目录5.(2018安徽19题10分)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)第5题图第六节解直角三角形及其应用返回目录解：如解图，过点F作FG⊥AB于点G，AG＝AB－GB＝AB－FD＝AB－1.8，由题意知：△ABE和△FDE均为等腰直角三角形，∴AB＝BE，DE＝FD＝1.8，∴FG＝DB＝DE＋BE＝AB＋1.8.在Rt△AFG中，＝tan∠AFG＝tan39.3°，即≈0.82，解得AB＝18.2≈18(米)．答：旗杆AB的高度约为18米．(10分)AGFG1.81.8ABAB第5题解图第六节解直角三角形及其应用返回目录【一题多解】由题意知：∠AEB＝∠FED＝45°，∴∠AEF＝90°，在Rt△AEF中，∠AFE＝39.3°＋45°＝84.3°，＝tan∠AFE＝tan84.3°≈10.02，在△ABE和△FDE中，∠ABE＝∠FDE＝90°，∠AEB＝∠FED，∴△ABE∽△FDE，∴≈10.02，∴AB＝10.02×FD＝18.036≈18(米)．答：旗杆AB的高度约为18米．(10分)AEFEABAEFDFE第六节解直角三角形及其应用返回目录类型四其他(10年2考)6.(2014安徽18题8分)如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km；CD段长为30km，求两高速公路间的距离．(结果保留根号)第6题图第六节解直角三角形及其应用返回目录解：如解图，过点A作AB的垂线交DC延长线于点E，过点E作l1的垂线与l1、l2分别交于点H、F，则HF⊥l2，由题意知AB⊥BC，BC⊥CD，AE⊥AB，∴四边形ABCE为矩形，∴AE＝BC，AB＝EC，(2分)∴DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝50(km)，又∵AB与l1成30°角，∴∠EDF＝30°，∠EAH＝60°，在Rt△DEF中，EF＝DE·sin30°＝50×＝25(km)，(5分)在Rt△AEH中，EH＝AE·sin60°＝10×＝5(km)，∴HF＝EF＋HE＝25＋5(km)．答：两高速公路间的距离为(25＋5)km.(8分)1232333第6题解图第六节解直角三角形及其应用返回目录7.(2019安徽19题10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)第7题图第六节解直角三角形及其应用返回目录解：如解图，连接CO并延长，交AB于点D，则CD⊥AB，∵CD过圆心O点，∴D为弦AB中点，所求运行轨道的最高点C到AB弦所在直线的距离即为线段CD的长．在Rt△AOD中，∵AD＝AB＝3，∠OAD＝41.3°，∴OD＝AD·tan∠OAD＝AD·tan41.3°≈3×0.88＝2.64，OA＝≈＝4.∴CD＝CO＋OD＝AO＋OD＝2.64＋4＝6.64(米)．答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米．(10分)12第7题解图cos41.3AD30.72第六节解直角三角形及其应用返回目录全国视野创新考法8.(2019达州)渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长，你也算算？(结果精确到0.1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41，≈1.73)23第六节解直角三角形及其应用返回目录第8题图解：如解图，过点B作BF⊥CE于点F，过点A作AG⊥BF于点G，则四边形AGFE为矩形．在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，AE＝3，∴DE＝≈1.73.在Rt△BCF中，∠BCF＝40°，BC＝5，sin∠BCF＝，cos∠BCF＝∴BF＝BC·sin∠BCF≈3.2，BFBCCFBC第8题解图3tan60AE第六节解直角三角形及其应用返回目录CF＝BC·cos∠BCF≈3.85.∴EF＝CD＋DE－CF＝0.58，AG＝EF＝0.58.∴BG＝BF－GF＝BF－AE＝0.2.∴AB＝≈0.6(m)．答：AB的长约为0.6m.22AGBG思维导图返回目录解直角三角形及其应用锐角三角形解直角三角形的实际应用仰角、俯角坡度（坡比）、婆角方向角直角三角形的边角关系三边关系三角关系边角间关系面积关系第六节解直角三角形及其应用返回目录考点精讲【对接教材】沪科：九上第23章P111－P139人教：八下第十七章P21－P39；九下第二十八章P60－P85北师：九下第一章P1－P27第六节解直角三角形及其应用返回目录【课标要求】◎探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值；◎会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；◎能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．◎在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.第六节解直角三角形及其应用返回思维导图返回目录在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为△ABC中的一锐角，则有：∠A的正弦：sinA=________∠A的余弦：cosA=________∠A的正切：tanA＝_________锐角三角函数acbcba锐角三角函数的定义第六节解直角三角形及其应用返回思维导图返回目录规律记忆法:30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，,；30°,45°,60°角的余弦值是60°，45°，30°角的正弦值锐角三角函数30°45°60°sinα__________cosα__________tanα____三角函数α122233322323212132特殊角的三角函数值记忆法图表记忆法第六节解直角三角形及其应用返回思维导图返回目录三边关系：________（勾股定理）三角关系：∠A+∠B＝∠C=90°边角间关系：sinA=cosB=;cosA=sinB=；tanA=;tanB=面