高一数学宝典：分类讨论思想

专题八数学思想方法第3讲分类讨论思想思想方法概述热点分类突破真题与押题思想方法概述1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.2.分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.(4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.(6)由实际意义引起的讨论.此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.3.分类讨论的原则(1)不重不漏.(2)标准要统一，层次要分明.(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.4.解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论.(2)对所讨论的对象进行合理的分类.(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决.(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论热点二由图形位置或形状引起的讨论热点三由参数引起的分类讨论热点分类突破热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2014·浙江)设函数f(x)＝x2＋x，x0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________.解析f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤2.答案a≤2(2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________.解析当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立；当q≠1时，由题意，得a1q2＝a3＝32，a11－q31－q＝S3＝92.所以a1q2＝32，①a11＋q＋q2＝92，②由①②，得1＋q＋q2q2＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－12或q＝1(舍去).当q＝－12时，a1＝a3q2＝6.综上可知，a1＝32或a1＝6.答案32或6(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等.思维升华变式训练1(1)已知函数f(x)＝log2x＋1，x3，2x－3＋1，x≤3满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A.log23B.1716C.32D.1解析分两种情况分析，a≤32a－3＋1＝3①或者a3log2a＋1＝3②，①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝32，故选C.答案C(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对解析∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.答案D热点二由图形位置或形状引起的讨论例2(1)不等式组x－y＋3≥0，x＋y≥0，x≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点).解析画出不等式组表示的平面区域(如图).结合图中的可行域可知x∈[－32，2]，y∈[－2,5].由图形及不等式组，知－x≤y≤x＋3，－32≤x≤2，且x∈Z.当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点；当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个).答案20(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为________.解析不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.所以圆锥曲线T的离心率为12或32.答案12或32求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.思维升华变式训练2(1)已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A.－12B.12C.0D.－12或0解析不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直(如图①)或直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或－12.答案D(2)设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|的值为________.解析若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上所述，|PF1||PF2|＝2或72.答案2或72例3(2014·四川改编)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.热点三由参数引起的分类讨论解由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a].当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12ae2时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增.于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12ae2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏.思维升华变式训练3已知函数g(x)＝axx＋1(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；解因为函数g(x)过点(1,1)，所以1＝a1＋1，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋2xx＋1.由f′(x)＝1x＋1＋2x＋12＝x＋3x＋12，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y＝3x.(2)判断函数f(x)的单调性.解因为f(x)＝ln(x＋1)＋axx＋1(x－1)，所以f′(x)＝1x＋1＋ax＋1－axx＋12＝x＋1＋ax＋12.①当a≥0时，因为x－1，所以f′(x)0，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增.②当a0时，由f′x0，x－1，得－1x－1－a，故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；由f′x0，x－1，得x－1－a，故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，在(－1－a，＋∞)上单调递增.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.本讲规律总结常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a，一般应分a1和0a1的讨论；函数y＝ax2＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由Sn求an分n＝1和n1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)排列、组合、概率中的分类计数问题.(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟31.(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC等于()A.5B.5C.2D.1解析∵S△ABC＝12AB·BC·sinB＝12×1×2sinB＝12，∴sinB＝22，∴B＝π4或3π4.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，3π4所以AC＝，此时△ABC为钝角三角形,符合题意；5当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，π4所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.5答案B12真题感悟32.(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”