高一数学宝典：函数与导数要点

函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1]函数y＝12log2x的定义域是________．答案0，142．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2]已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝________.答案1－x2(x∈[－1,1])3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3]已知函数f(x)＝ex，x0，lnx，x0，则ff1e＝________.答案1e4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4]f(x)＝lg1－x2|x－2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案奇解析由1－x20，|x－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f(x)＝lg1－x2－x－2－2＝lg1－x2－x.∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．5．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题5]设f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为()A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数答案D解析由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg1＋x1－x，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg1＋x1－x＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题6]函数f(x)＝1x的减区间为________．答案(－∞，0)，(0，＋∞)7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[问题7]函数y＝2x2x＋1(x≥0)的值域为________．答案12，1解析方法一∵x≥0，∴2x≥1，∴y1－y≥1，解得12≤y1.∴其值域为y∈12，1.方法二y＝1－12x＋1，∵x≥0，∴012x＋1≤12，∴y∈12，1.8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[问题8]函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．答案[0,1)，[2，＋∞)解析∵y＝|log2x－1|x1，|log21－x|x1，作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1fx(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.[问题9]对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1fx，若当2x3时，f(x)＝x，则f(2012.5)＝________.答案－2510．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10]若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．答案－∞，1411．(1)对数运算性质已知a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMN＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝logbNlogba.推论：logamNn＝nmlogaN；logab＝1logba.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．[问题11]函数y＝loga|x|的增区间为_________________．答案当a1时，(0，＋∞)；当0a1时，(－∞，0)12．幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0α1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．[问题12]函数f(x)＝12x－12x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案B13．函数与方程(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．[问题13]已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，∴f(1)＝0＋3×1－4＝－10，f(2)＝2×3－4＝20.又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．14．求导数的方法①基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)．②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.[问题14]f(x)＝exx，则f′(x)＝________.答案exx－1x215．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15]函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．答案a≥13解析f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.由f′(x)≥0，得a0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13.a＝13时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝13符合题意．16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[问题16]函数f(x)＝14x4－13x3的极值点是________．答案x＝117．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃbaf(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃbaxndx＝xn＋1n＋1|ba，ʃbasinxdx＝－cosx|ba，ʃbacosxdx＝sinx|ba，ʃba1xdx＝lnx|ba(ba0)，ʃbaaxdx＝axlna|ba.[问题17]计算定积分ʃ1－1(x2＋sinx)dx＝________.答案23解析ʃ1－1(x2＋sinx)dx＝x33－cosx1－1＝23.易错点1函数概念不清致误例1已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．错解由x2x2－40，得x2或x－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x2或x－2}．找准失分点错把lgx2x2－4的定义域当成了f(x)的定义域．正解由f(x2－3)＝lgx2x2－4，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lgt＋3t－1.∵x2x2－40，即x24，∴t＋34，即t1.∴f(x)的定义域为{x|x1}．易错点2忽视函数的定义域致误例2判断函数f(x)＝(1＋x)1－x1＋x的奇偶性．错解因为f(x)＝(1＋x)1－x1＋x＝1－x1＋x1＋x2＝1－x2，所以f(－x)＝1－－x2＝1－x2＝f(x)，所以f(x)＝(1＋x)1－x1＋x是偶函数．找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)．正解f(x)＝(1＋x)1－x1＋x有意义时必须满足1－x1＋x≥0⇒－1x≤1，即函数的定义域是{x|－1x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．易错点3混淆“切点”致误例3求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．错解∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|0xx＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)