高一数学宝典：活用“审题路线图”，破解高考不再难

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．四审结构定方案一审条件挖隐含二审结论会转换三审图形抓特点六审细节更完善五审图表、数据找规律目录页任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．一审条件挖隐含例1(2014·重庆)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，－≤φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f()＝(α)，求cos(α＋)的值．π2π222π33π2π63π334条件：f(x)图象上相邻两个最高点距离为π审题路线图挖掘三角函数图象的特征f(x)的周期为πω＝2T＝2π|ω|，ω0(已知)－π2≤φπ2(已知)条件：f(x)图象关于直线x＝对称π3f()取到最值π32×＋φ＝kπ＋(k∈Z)π3π2φ＝－π6条件：f(α2)＝34条件π6α23π代入f(x)sin(α－π6)＝14cos(α－π6)＝154欲求cos(α＋32π)＝sinα＝sin[(α－π6)＋π6]cos(α＋32π)＝3＋158sinα＝3＋158解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，又因为f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.由－π2≤φπ2，得k＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.2πT所以f(x)的最小正周期为T＝π，从而ω＝＝2.(2)由(1)得f(α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6α2π3，得0α－π6π2，所以cos(α－π6)＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.所以cos(α＋3π2)＝sinα＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cosπ6＋cos(α－π6)sinπ6＝14×32＋154×12＝3＋158.变式训练1(2014·四川)已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos2α，求cosα－sinα的值．π4α345π4得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3]，k∈Z.解(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，π2π2由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，π2π4π2(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos2α－sin2α)，所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45(cosαcosπ4－sinαsinπ4)(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.3π4此时，cosα－sinα＝－.2由α是第二象限角，知cosα－sinα0，当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.54此时cosα－sinα＝－.52综上所述，cosα－sinα＝－或－.252问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．二审结论会转换例2已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．1223审题路线图(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域)求f(x)的极值求f′(x)＝0的解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在[1，e]上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)＝f(x)－g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)0在[1，＋∞)上恒成立．研究函数F(x)在[1，＋∞)上的单调性．(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值为.12所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(e)＝12e2＋1.(2)解当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，(3)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋lnx－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x＋2x2x，当x1时，F′(x)0，故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－0，16所以在区间[1，＋∞)上，F(x)0恒成立．即f(x)g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方．变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0),求a的取值范围．1－a2aa－1解(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，ax由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，1－a2f′(x)＝ax＋(1－a)x－1＝1－ax(x－a1－a)(x－1)．①若a≤12，则a1－a≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)aa－1的充要条件为f(1)aa－1，即1－a2－1aa－1，解得－2－1a2－1.②若12a1，则a1－a1，故当x∈(1，a1－a)时，f′(x)0，当x∈(a1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1，a1－a)单调递减，在(a1－a，＋∞)单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)aa－1的充要条件为f(a1－a)aa－1.而f(a1－a)＝alna1－a＋a221－a＋aa－1aa－1，所以不合题意．③若a1，则f(1)＝1－a2－1＝－a－12aa－1.综上，a的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．三审图形抓特点例3已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.π2π24审题路线图f(x)图象的周期性ω＝2T2＝|38π－π8|T＝π2T＝π|ω|，ω0f(x)图象过点(π，0)Atan(2×π＋φ)＝0π＋φ＝kπ，k∈Z383834|φ|φ＝f(x)图象过点(0,1)A＝1π2π4f(π24)＝tan(π24×2＋π4)＝3解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝Atan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－3π4(k∈Z)，又|φ|，所以φ＝.π2又图象过定点(0,1)，所以A＝1.综上可知，f(x)＝tan(2x＋)，π4π4故有f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tanπ3＝3.答案3变式训练3如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC的外心，则的值为________．AO→·BC→解析方法一取边BC的中点D，由于O为△ABC的外心，所以⊥，DO→所以DO→·BC→＝0，AO→＝AD→＋DO→＝12(AB→＋AC→)＋DO→，BC→所以AO→·BC→＝12(AB→＋AC→)·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(|AC→|2－|AB→|2)＝8.易知向量AO→在AB→上的投影为|AE→|，AO→在AC→上的投影为|AF→|，方法二取AB的中点E，AC的中点F，连接OE，OF，则OE⊥AB，OF⊥AC.所以AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→＝|AC→|·|AF→|－|AB→|·|AE→|＝5×52－3×32＝8.答案8数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．四审结构定方案例4在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＝6cosC，则的值是________．ba＋abtanCtanA＋tanCtanB审题路线图（数式中既有边又有角，应统一）〈观察方向一〉观察条件：＝6cosC将条件转化为简洁形式ba＋abba＋ab＝6×a2＋b2－c22aba2＋b2＝32c2观察结论所求：(考虑到在△ABC中的正、余弦定理，切化弦是必由之路)tanCtanA＋tanCtanBtanCtanA＋tanCtanB＝1cosC·sin2CsinAsinB(角化边、用条件)tanCtanA＋tanCtanB＝1cosC·sin2CsinAsinB＝2aba2＋b2－c2×c2ab＝4(关注数式的特征)〈观察方向二〉观察条件：＝6cosC角A、B具有轮换性ba＋ab边a、b具有轮换性观察所求结论：tanCtanA＋tanCtanB(从数式的特征考虑)(特殊化思想，可靠吗？)cosC＝13(完全转化成三角函数运算)tan2C2＝1－cosC1＋cosC＝12，即tanC2＝22当A＝B即a＝b时，应满足题意tanC＝2tanC21－tan2C2＝22tanCtanA＋tanCtanB＝4tanA＝tanB＝1tanC2＝2解析由ba＋ab＝6cosC，得b2＋a2＝6abcosC.根据余弦定理，化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将tanCtanA＋tanCtanB切化弦，得sinCcosC·(cosAsinA＋cosBsinB)＝sinCcosC·sinA＋BsinAsinB＝sinCcosC·sinCsinAsinB＝sin2CcosCsinAsinB.sin2CcosCsinAsinB＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝2c232c2－c2＝4.根据正、余弦定理得答案4变式训练4(1)(2014·课标全国Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________．(2)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφ·cos(x＋φ)的最大值为