高一数学宝典：集合与常用逻辑用语要点

集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1]集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形答案A2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．[问题2]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案∅3．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[问题3]设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．答案{0，12，13}4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.[问题4]满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．答案75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)答案C6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[问题6]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________．答案否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[问题7]设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．答案充分不必要8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8]若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－20成立，则实数x的取值范围是________________．答案(－∞，－1)∪23，＋∞解析不等式即(x2＋x)a－2x－20，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．则f1≤0，f3≤0，解得x∈－1，23.则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪23，＋∞.易错点1忽视空集致误例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．错解∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，∴A＝{x|－2≤x≤5}．由A∪B＝A知B⊆A，∴－2≤m＋12m－1≤5，即－3≤m≤3，∴m的取值范围是－3≤m≤3.找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．正解∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．①若B＝∅，则m＋12m－1，即m2，故m2时，A∪B＝A；②若B≠∅，如图所示，则m＋1≤2m－1，即m≥2.由B⊆A得－2≤m＋1，2m－1≤5.解得－3≤m≤3.又∵m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.易错点2对命题的否定不当致误例2错误!未找到引用源。已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5M，则a的取值范围是________．错解(－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点5M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a＋105a－250；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．正解方法一∵5M，∴5a＋105a－250或5a－25＝0，∴a－2或a5或a＝5，故填a≥5或a－2.方法二若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a5，∴5M时，a－2或a≥5.答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)易错点3充要条件判断不准例3错误!未找到引用源。设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件．错解若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，∴A∩B＝∅，故填“充要”．找准失分点没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．正解若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要”答案充分不必要1．(2014·北京)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于()A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}答案C解析∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{0，2}．2．(2014·北京)设{an}是公比为q的等比数列，则“q1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析{an}为递增数列，则a10时，q1；a10时，0q1.q1时，若a10，则{an}为递减数列．故“q1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.3．命题“∃x∈R，x2－2x＋10”的否定是()A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0B．∃x∈R，x2－2x＋10C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋10答案C解析特称命题的否定为全称命题．4．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是()A．a≤23B．0a12C.12a≤23D.12a1答案C解析p⇔a∈－∞，23，q⇔a∈12，1，∴a∈12，23.5．如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则图中的阴影部分表示的集合是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，0]∪(1,2)C．(－∞，0)∪(1,2)D．(－∞，0)∪(1,2]答案D解析由题意得A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，B＝(1，＋∞)，图中的阴影部分表示的集合是[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]，而A∩(∁UB)＝(－∞，0)，(∁UA)∩B＝(1,2]，故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]．6．已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a1C．a≥2D．a2答案C解析∵B＝{x|1x2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又∵A＝{x|xa}，且A∪(∁RB)＝R，利用数轴易知应有a≥2，故选C.7．已知集合U＝R，A＝x|x2＋y24＝1，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝____________.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0,2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中的元素有________个．答案89．设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是________．答案m－1，n510．已知条件p：x2＋2x－30，条件q：xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．答案[1，＋∞)解析由x2＋2x－30可得x1或x－3，“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.