高一数学宝典:三角函数、解三角形、平面向量要点

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

三角函数、解三角形、平面向量1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P(x,y)是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是r=x2+y20,那么sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x≠0),三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.[问题1]已知角α的终边经过点P(3,-4),则sinα+cosα的值为________.答案-152.同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tanα=sinαcosα.(3)诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限-απ-απ+α2π-απ2-αsin-sinαsinα-sinα-sinαcosαcoscosα-cosα-cosαcosαsinα[问题2]cos9π4+tan-7π6+sin21π的值为___________________________.答案22-333.三角函数的图象与性质(1)五点法作图;(2)对称轴:y=sinx,x=kπ+π2,k∈Z;y=cosx,x=kπ,k∈Z;对称中心:y=sinx,(kπ,0),k∈Z;y=cosx,kπ+π2,0,k∈Z;y=tanx,kπ2,0,k∈Z.(3)单调区间:y=sinx的增区间:-π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z),减区间:π2+2kπ,3π2+2kπ(k∈Z);y=cosx的增区间:[]-π+2kπ,2kπ(k∈Z),减区间:[2kπ,π+2kπ](k∈Z);y=tanx的增区间:-π2+kπ,π2+kπ(k∈Z).(4)周期性与奇偶性:y=sinx的最小正周期为2π,为奇函数;y=cosx的最小正周期为2π,为偶函数;y=tanx的最小正周期为π,为奇函数.易错警示:求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,容易出现以下错误:(1)不注意ω的符号,把单调性弄反,或把区间左右的值弄反;(2)忘掉写+2kπ,或+kπ等,忘掉写k∈Z;(3)书写单调区间时,错把弧度和角度混在一起.如[0,90°]应写为0,π2.[问题3]函数y=sin-2x+π3的递减区间是________.答案kπ-π12,kπ+512π(k∈Z)4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ――→令α=βsin2α=2sinαcosα.cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ――→令α=βcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ.cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2,tan2α=2tanα1-tan2α.在三角的恒等变形中,注意常见的拆角、拼角技巧,如:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α=12[(α+β)+(α-β)].α+π4=(α+β)-β-π4,α=α+π4-π4.[问题4]已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4=________.答案-56655.解三角形(1)正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:(ⅰ)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(ⅱ)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;(ⅲ)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②已知三角形两边及一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC中AB⇔sinAsinB.(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=b2+c2-a22bc等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.[问题5]在△ABC中,a=3,b=2,A=60°,则B=________.答案45°6.向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.0看成与任意向量平行,特别在书写时要注意,否则有质的不同.[问题6]下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0.其中正确命题是________.答案④7.向量的数量积|a|2=a2=a·a,a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22,a在b上的投影=|a|cos〈a,b〉=a·b|b|=x1x2+y1y2x22+y22.注意:〈a,b〉为锐角⇔a·b0且a、b不同向;〈a,b〉为直角⇔a·b=0且a、b≠0;〈a,b〉为钝角⇔a·b0且a、b不反向.易错警示:投影不是“影”,投影是一个实数,可以是正数、负数或零.[问题7]已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为________.答案1258.当a·b=0时,不一定得到a⊥b,当a⊥b时,a·b=0;a·b=c·b,不能得到a=c,消去律不成立;(a·b)c与a(b·c)不一定相等,(a·b)c与c平行,而a(b·c)与a平行.[问题8]下列各命题:①若a·b=0,则a、b中至少有一个为0;②若a≠0,a·b=a·c,则b=c;③对任意向量a、b、c,有(a·b)c≠a(b·c);④对任一向量a,有a2=|a|2.其中正确命题是________.答案④9.几个向量常用结论:①PA→+PB→+PC→=0⇔P为△ABC的重心;②PA→·PB→=PB→·PC→=PC→·PA→⇔P为△ABC的垂心;③向量λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心;④|PA→|=|PB→|=|PC→|⇔P为△ABC的外心.易错点1图象变换方向或变换量把握不准致误例1要得到y=sin(-3x)的图象,需将y=22(cos3x-sin3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可).错解右π4或右π12找准失分点y=22(cos3x-sin3x)=sinπ4-3x=sin-3x-π12.题目要求是由y=sin-3x+π4→y=sin(-3x).右移π4平移方向和平移量都错了;右移π12平移方向错了.正解y=22(cos3x-sin3x)=sinπ4-3x=sin-3x-π12,要由y=sin-3x-π12得到y=sin(-3x)只需对x加上π12即可,因而是对y=22(cos3x-sin3x)向左平移π12个单位.答案左π12易错点2忽视隐含条件的挖掘致误例2已知cosα=17,sin(α+β)=5314,0απ2,0βπ2,求cosβ.错解由0απ2,0βπ2,得0α+βπ,则cos(α+β)=±1114.由cosα=17,0απ2,得sinα=437.故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=7198或12.找准失分点由0α+βπ,且sin(α+β)=531432,∴0α+βπ3或2π3α+βπ,又cosα=1712,∴π3απ2,即α+β∈2π3,π,∴cos(α+β)=-1114.正解∵0απ2且cosα=17cosπ3=12,∴π3απ2,又0βπ2,∴π3α+βπ,又sin(α+β)=531432,∴2π3α+βπ.∴cos(α+β)=-1-sin2α+β=-1114,sinα=1-cos2α=437.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=12.易错点3忽视向量共线致误例3已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________.错解∵cosθ=a·b|a|·|b|=2λ+15·λ2+1.因θ为锐角,有cosθ0,∴2λ+15·λ2+10⇒2λ+10,得λ-12,λ的取值范围是-12,+∞.找准失分点θ为锐角,故0cosθ1,错解中没有排除cosθ=1即共线且同向的情况.正解由θ为锐角,有0cosθ1.又∵cosθ=a·b|a|·|b|=2λ+15·λ2+1,∴02λ+15·λ2+1≠1,∴2λ+10,2λ+1≠5·λ2+1,解得λ-12,λ≠2.∴λ的取值范围是λ|λ-12且λ≠2.答案λ|λ-12且λ≠21.(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=()A.45B.35C.-35D.-45答案D解析因为角α的终边经过点(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5,所以cosα=xr=-45.2.(2014·大纲全国)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.abcB.bcaC.cbaD.cab答案C解析∵a=sin33°,b=cos55°=sin35°,c=tan35°=sin35°cos35°,又0cos35°1,∴cba.3.已知sinθ+cosθ=43(0θπ4),则sinθ-cosθ的值为()A.23B.-23C.13D.-13答案B解析∵sinθ+cosθ=43,∴(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=169,∴sin2θ=79,又0θπ4,∴sinθcosθ.∴sinθ-cosθ=-sinθ-cosθ2=-1-sin2θ=-23.4.已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是()A.[2-1,2+1]B.[2-1,2+2]C.[1,2+1]D.[1,2+2]答案A解析∵a·b=0,且a,b是单位向量,∴|a|=|b|=1.又∵|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1,∴2c·(a+b)=c2+1.∵|a|=|b|=1且a·b=0,∴|a+b|=2,∴c2+1=22|c|cosθ(θ是c与a+b的夹角).又-1≤cosθ≤1,∴0c2+1≤22|c|,∴c2-22|c|+1≤0,∴2-1≤|c|≤2+1.5.函数f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图象如图所示,那么f(0)等于()A.-12B.-1C.-32D.-3答案B解析由题图可知,函数的最大值为2,因此A=2.又因为函数经过点π3,2,则2sin2×π3+φ=2,即2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,得φ=-π6+2kπ,k∈Z.f(0)=2sinφ=2sin-π6+2kπ=-1.6.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为()A.32B.22C.12D.-12答案C解析∵cosC=a2+b2-c22ab=c22ab,又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2.∴cosC≥12.∴cosC的最小值为12.7.(2014·山东)在△ABC中,已知AB→·AC→=tanA,当A=π6时,△ABC的面积为________.答案16解析已知A=π6,由题意得|AB→||AC→|cosπ6=tanπ6,|AB→||AC→|=23,所以△ABC的面积S=12|AB→||AC→|sinπ6=12×23×12=16.8.(2014·江苏)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φπ),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是______

1 / 9
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功