高一数学宝典：数列、不等式要点

数列、不等式1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．[问题1]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.答案2，n＝12n－1，n≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：Sn＝na1＋an2，Sn＝na1＋nn－12d.(4)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[问题2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为()A．15B．20C．25D．30答案A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法an＋1an＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或an＋1an＝anan－1(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝56.(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为AB.(5)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a2p.[问题3](1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.答案(1)512(2)104．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：1nn＋1＝1n－1n＋1；1nn＋k＝1k1n－1n＋k.(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4]数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．答案925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5]不等式－3x2＋5x－20的解集为________．答案23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6]已知a，b，c，d为正实数，且cd，则“ab”是“acbd”的________条件．答案充分不必要7．基本不等式：a＋b2≥ab(a，b0)(1)推广：a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b0)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2p；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值14s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7]已知a0，b0，a＋b＝1，则y＝1a＋4b的最小值是________．答案98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．[问题8]设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件x≥0，y≤x，则|PA|的最小值是________．答案22易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．错解－1找准失分点当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.正解①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得a11－q31－q＋a11－q61－q＝a11－q91－q∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案1或－1易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误例2若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|.错解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤254，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132所以Sk＝2k2－23k＋132.找准失分点忽视了k≤6的情况，只给出了k≥7的情况．正解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤254，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.当k≤6时，Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝a1＋a2＋…＋ak＝－2k2＋23k.当k≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132，所以Sk＝－2k2＋23kk≤62k2－23k＋132k≥7.易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误例3各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.错解150或－200找准失分点数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q100.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q100的等比数列．∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝101－241－2＝150.答案150易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4错误!未找到引用源。已知：a0，b0，a＋b＝1，求a＋1a2＋b＋1b2的最小值．错解由a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4≥2ab＋2ab＋4≥4ab·1ab＋4＝8，得a＋1a2＋b＋1b2的最小值是8.找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到．正解a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4＝(a2＋b2)＋1a2＋1b2＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋1a＋1b2－2ab＋4＝(1－2ab)1＋1a2b2＋4由ab≤a＋b22＝14，得1－2ab≥1－12＝12，且1a2b2≥16,1＋1a2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴a＋1a2＋b＋1b2的最小值是252.1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于()A．10B．18C．20D．28答案C解析因为a3＋a8＝10，所以由等差数列的性质，得a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.2．若1a1b0，则下列不等式：①a＋bab；②|a||b|；③ab中，正确的不等式有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析由1a1b0，得a0，b0，故a＋b0且ab0，所以a＋bab，即①正确；由1a1b0，得1a1b，两边同乘|ab|，得|b||a|，故②错误；由①②知|b||a|，a0，b0，所以ab，即③错误，选B.3．已知，x1，y1，且14lnx，14，lny成等比数列，则xy有()A．最小值eB．最小值eC．最大值eD．最大值e答案A解析x1，y1，且14lnx，14，lny成等比数列，14lnx·lny＝(14)2，即14＝lnx·lny≤(lnx＋lny2)2，lnx＋lny≥1，lnxy≥1，故xy≥e.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3答案A解析∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，进而得S15－S10＝12k，于是S15＝32k，故S15∶S5＝32k∶2k＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为()A．195B．197C．392D．396答案C解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．答案22解析点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥22m·22n＝22m＋2n＝22.7．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则a＋b2cd的最小值是________．答案4解析由x，a，b，y成等差数列知a＋b＝x＋y，①由x，c，d，y成等比数列知cd＝xy，②把①②代入a＋b2cd得a＋b2cd＝x＋y2xy＝x2＋y2＋2xyxy≥4，∴a＋b2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2y≤2x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为________．答案4解析画出可行域D，如图中阴影部分所示，而z＝OM→·OA→＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，令l0：y＝－2x，将l0平移到过点(2，2)时，截距z有最大值，故zmax＝2×2＋2＝4.9．已知函数f(x)＝4－a2x＋4x≤6，ax－5x6(a0，a≠1)．数列{an}满足an＝f(n)(n