高一数学宝典：推理与证明、复数、算法要点

推理与证明、复数、算法1．推理方法(1)合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1]图1有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则图2有体积关系：________.答案VP－A′B′C′VP－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC(2)演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．2．证明方法(1)直接证明①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．(3)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．答案三角形三个内角都大于60°3．复数的概念对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．[问题3]若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．答案－24．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)设ω＝－12±32i，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4]已知复数z＝1－3i3＋i，z是z的共轭复数，则|z|＝________.答案15．算法(1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．[问题5]执行如图所示的程序框图，如果输出a＝341，那么判断框中可以是()A．k4?B．k5?C．k6?D．k7?答案C解析根据程序框图，第一次循环，a＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2；第二次循环，a＝4×1＋1＝5，k＝2＋1＝3；第三次循环，a＝4×5＋1＝21，k＝3＋1＝4；第四次循环，a＝4×21＋1＝85，k＝4＋1＝5；第五次循环，a＝4×85＋1＝341，k＝5＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中可以是“k6？”或“k≤5？”．故选C.易错点1复数的概念不明致误例1若z＝sinθ－35＋cosθ－45i是纯虚数，则tanθ－π4的值为()A．－7B．7C．－17D．－7或－17找准失分点本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sinθ＝35，cosθ＝±45，导致错选D.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误．正解由z为纯虚数，知sinθ－35＝0，且cosθ－45≠0.则sinθ＝35，从而cosθ＝－45.所以tanθ＝sinθcosθ＝－34.∴tanθ－π4＝tanθ－tanπ41＋tanθ·tanπ4＝－34－11－34＝－7.答案A易错点2循环次数把握不准致误例2执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.找准失分点容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．正解顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有S：0＋12＝12，12＋122＝34，34＋123＝0.875，n:2,3,4.“0.8750.8”判断为“否”，输出n＝4.答案4易错点3数学归纳法未用归纳假设致误例3用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d(n∈N＋)．错解①当n＝1时，S1＝a1，等式成立．②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即Sk＝a1k＋12k(k－1)d.当n＝k＋1时，Sk＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(k－1)d]＋(a1＋kd)＝(k＋1)a1＋(d＋2d＋…＋kd)＝(k＋1)a1＋12k(k＋1)d＝(k＋1)a1＋12(k＋1)[(k＋1)－1]d，即当n＝k＋1时，等式成立．由①②知，等式对任意的正整数n都成立．找准失分点本题的错因在于从n＝k到n＝k＋1的推理中，没有用到归纳假设．正解①当n＝1时，S1＝a1，等式成立．②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即Sk＝a1k＋12k(k－1)d.当n＝k＋1时，Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＝Sk＋ak＋1＝a1k＋12k(k－1)d＋a1＋kd＝(k＋1)a1＋12(k＋1)[(k＋1)－1]d即当n＝k＋1时，等式成立．由①②知，等式对任意的正整数n都成立．1．(2014·安徽)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则zi＋i·z等于()A．－2B．－2iC．2D．2i答案C解析∵z＝1＋i，∴z＝1－i，zi＝1＋ii＝－i2＋ii＝1－i，∴zi＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.2．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18B．20C．21D．40答案B解析由题意，得S＝0，n＝1；S＝0＋2＋1＝315，n＝2；S＝3＋22＋2＝915，n＝3；S＝9＋23＋3＝20，n＝4，因为20≥15，因此输出S.故选B.3．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析(－1＋i)z＝(1＋i)2＝2i，则z＝2ii－1＝2ii＋1i－1i＋1＝－i(i＋1)＝1－i，所以复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则这个点位于第四象限．4．i为虚数单位，复数1＋ai2＋i为纯虚数，则实数a等于()A．－2B．－13C.12D．2答案A解析由于1＋ai2＋i＝1＋ai2－i2＋i2－i＝2＋a＋2a－1i5为纯虚数，所以2＋a5＝0，且2a－15≠0即a＝－2.5．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人答案B解析假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．6．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.7．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．答案－20解析(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.8．(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．答案21解析因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21.9．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－b2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.答案b2a2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.将A，B代入双曲线x2a2－y2b2＝1中得x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减得x21－x22a2＝y21－y22b2，即x1－x2x1＋x2a2＝y1－y2y1＋y2b2，即y1－y2y1＋y2x1－x2x1＋x2＝b2a2，即kOM·kAB＝b2a2.10．(2014·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.