不等式的应用

不等式的应用第一节：利用重要不等式证明不等式1：知识要点（1）均值不等式：设12,,...,naaa是n个正实数，记12111nnnHaaa12nnnGaaa12nnaaaAn22212nnaaaQn它们分别称为n个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：nnnnHGAQ.等号成立的充要条件是12naaa。（2）柯西（Cauchy）不等式：设12,,naaa和12,nbbb是给定的实数，则222222211221212()()()nnnnabababaaabbb。等号成立的充要条件是：存在,（不全为零），使iiabi=1,2,···n（3）柯西不等式的几个推论①若,,1,2,,iiabRin，则22111niniiniiiiaabb，当且仅当,1,2,,iibain时取等号。特别地，3212321323222121yyyxxxyxyxyx②2111niniiniiiiiaabab，当且仅当12nbbb时等号成立③若,1,2,3,,iaRin，则2211nniiiinaa，当且仅当12naaa时等号成立④若,1,2,3,,iaRin，则2111nniiiiana，当且仅当12naaa时（4）排序不等式设nnnjjjbbbaaa,,,,,212121是n,,2,1的一个排列，令1212012111122,,njjnjnnnnnSabababSabababSababab.则0.SSS证明若1,1knjjb，由111111111kknnjkjkkjnjnjSabababababab.设1111111111knknjkjkjkjnjnSabababababab，则111nnknjkjnSSabababab.01nkjaabbn可见按上述方法调整后，S的值不增，若此时在1S中12nj，仿上又可得2,S，最多经过2n步调整以后，若在2nS中22j，将其中的21j与12j互换，得到10nSS，则12nnSS，故1210.nSSSSS所以，.0SS由于12nbbb，利用上面所证结论，得.SSSS综上，不等式获证。排序不等式可简述为：“反序和≤乱序和≤同序和”。（5）琴生不等式若xf是区间ba,上的凸函数，则对任意的点baxxxn,,,,21*()nN有12121().nnxxxffxfxfxnn等号当且仅当nxxx21时取得。证明当1n时，命题显然成立。假设kn时命题成立，当1kn时，令,11121kkxxxxkA则kAkAkA211.21121kAkxxxxkk又令12,kxxxBk11.kxkACk∴1()22BCfAffBfC11211[()()]2kkxkAxxxffkk1211111{[]}2kkkfxfxfxfxfAfAkk.121121Afkxfxfxfkk所以，,11121kkxfxfxfxfkAf当且仅当121kkxxxx时取等号。综上所述，对一切正整数n，命题成立。2：典型例题(1)均值不等式例1：利用均值不等式证明：（1）13aabb，(0)ab（2）log1log11,2nnnnn（3）444222222xyyxyyzzxxyzxyz，其中,,0xyz证明（1）1aabb1abbabb3133abbabb当且仅当10abbabb，即2,1ab取等号。证明（2）log1log1nnnnlog1log12nnnn2211log1log122nnnn∴log1log11,2nnnnn证明（3）44442222xyxyxy，同理44222zyzy44222zxzx，三式相加得444222222xyyxyyzzx另一方面2222242222xyyzxyzxyz，同理222222xyxzyxz，222222xzyzyzx三式相加得222222xyyzzxxyzxyz说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3）中累加的方法是常用的处理手段。例2.,,abcR,求证:2223()()()abcbcacababcbcacab。证明左边=222(1)(1)(1)3()()()abcbcacababcbcacab()()()()()()3()()()abacbcbacacbabcbcacab3()()()()()()33()()()abacbcbacacbabcbcacab3()()()33abbccaabc322233abbccaabc3233.注:本题也可以由2()abcccaabcababbc,再处理.例3：若,,abcR且1abc，求证：13113113143abc证明：左边13113113116334333abc例4已知2，且,,均为锐角，求证：tantan5tantan5tantan543证明：tantan5tantan5tantan5222tantan5tantan5tantan533tantantantantantan1533又tantantantan21tantan，即tantancot1tantan那么tantantantantantantantancot1tantan1所以tantantantantantan1516334333故有不等式tantan5tantan5tantan543成立例5：已知12,,naaa是正数，满足121naaa求证：122223nnaaa（89年联赛试题）证明：31112113aaa，同理：32223aa，…323nnaa，将以上式子相乘即得证。例6：nN，求证：11111231nnn证明：由2121nnAH有1111231nnn22221211123121nnnnnn显然上式不可能取等号，故原不等式成立。说明：注意到nH的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含nH的均值不等式。例7若,,abcR且1abc，求证：1112711114abbcc证明：11131113111abbccaabbcca11191111111abbccabbcca9abcabbcca91abbcca又222232221abbccaabcabbccaabc13abbcca，故有992711413abbcca所以不等式1112711114abbcc成立例8若,0nNx，求证：221121nnxxxxn证明：2211112,2,,2nnnnnnnxxxxxxxx22121nnxxxnx，故有22112121nnnnxxxxxnxn例9：若,,mnNmn，求证：1111mnmn证明：由nnGA有1111111mmnmmm个11111nnmnmmnn∵111m，∴上式不可能取等号。故原不等式得证。例10：设12,,naaa是1，2，…n的一个排列，求证：12123nn11223nnaaaaaa证明：∵12,,naaa是1，2，…n的一个排列∴121111112111naaan12naaa于是11223nnaaaaaa11112n=11223nnaaaaaa12111naaa112123111nnaaaaaaa12112111nnnaaannaaa而1112nn12123nn所以12123nn11223nnaaaaaa说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上11112n的变形处理。例11：已知0,1,2,imin，1p，1111npiim，求证：121npnmmmn证明：令11ipixm，则1piiixmx，且11niix∴12111iiinxxxxxx11111niinnxxxx∴121212111npppnnxxxmmmxxx1111121211nnnnnnnnnxxxnxxx∴121npnmmmn说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。例12：设,,,abcd为正实数，且满足abbccdda1求证：3333abcdbcdacdbadbca13证明：由均值不等式得：311812abcdbcd33131812abcdbcd2a从而3121812aabcdbcd同理3121812bbacdacd3121812ccabdabd3121812ddabcabc各式相加得3333abcdbcdacdbadbca13abcd又由题设abbccdda1acbd得12abcdacac代入上式即得。说明：本题充分利用了等号成立的条件是“12abcd”进行代数式的变形，借助abbccdda1进行消元，使问题得以解决。例13：设,,xyz为正数，1xyz求证：3