第3章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值

第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习2.考点全突破1.基础全梳理第三章导数及其应用第二节导数在研究函数性质中的应用第2课时导数与函数的极值、最值第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习基础点一函数的极值极值的概念极大值x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有①________，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极大值点f(x)f(x0)第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习极值的概念极小值x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有②________，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极小值点f(x)f(x0)第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习极大值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧③________，右侧④________，则x＝x0为函数的极大值点导数与极值极小值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧⑤________，右侧⑥________，则x＝x0为函数的极小值点f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习特别提示：对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习小题微练1．(2020届湖南常德一中高三月考)函数f(x)＝2x－xlnx的极值是()A．1eB．2eC．eD．e2C第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，当f′(x)＞0时，解得0＜x＜e；当f′(x)＜0时，解得x＞e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.故选C.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习2．(2020届山东曲阜二中高三月考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2D第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：f′(x)＝3x2－12，∴x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0，∴x＝2是f(x)的极小值点．∴a＝2.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习基础点二函数的最值1．在[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则①________为函数的最小值，②________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则③________为函数的最大值，④________为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习小题微练1．(2020届湖南常德一中高三月考)函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为()A．12B．1C．0D．不存在A第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)0，得0x1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln1＝12.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习2．(2020届山东济宁一中高三月考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是________．－4第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习考点一利用导数研究函数的极值(高考热度：★★★)考向1利用函数图象判断函数的极值考向微练1．(2020届湖南师大附中高三月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图1所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A．1B．2C．3D．4图1B第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)的图象在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习2．(多选题)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图2，则下列叙述正确的是()图2A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减B．函数f(x)在x＝2处取得极大值C．函数f(x)在x＝－4处取得极值D．函数f(x)只有一个极值点BD第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D正确．故选BD.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习方法总结由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．结合(1)(2)可得极值点．第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习考向2求函数的极值典例印证已知函数f(x)＝x－1＋aex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解：由f(x)＝x－1＋aex，得f′(x)＝1－aex.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习(2)求函数f(x)的极值．解：f′(x)＝1－aex，①当a≤0时，f′(x)0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0，第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习方法总结求函数极值的一般步骤：(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求f′(x)＝0的根；(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；(4)求出具体极值.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习考向微练1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则a＝________，f(x)的极小值为________．－1－e第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex.因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x－2或x1时，f′(x)0，此时函数f(x)为增函数，当－2x1时，f′(x)0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习2．设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解：由已知，得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习(2)若d＝3，求f(x)的极值．由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习x(－∞，t2－3)t2－3(t2－3，t2＋3)t2＋3(t2＋3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63，函数f(x)的极小值为f(t2＋3)＝(3)3－9×3＝－63.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习考向3已知函数极值求参数典例印证设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解：因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.则f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解：f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a＞12，则当x∈1a，2时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习若a≤12，则当x∈(0，2)时，x－2＜0，ax－1≤12x－10，所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是12，＋∞.第三章导数及其应用基础全梳理考点全突破京师新教案数学大一轮总复习解题通法1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2．验证：因为某点处的导数值等于0不