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第一章测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·新课标Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{0,1,2}[答案]A[解析]由已知得B＝{x|－2x1}，故A∩B＝{－1,0}，故选A.2．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}[答案]B[解析]A选项中，元素为点，且不是同一点，C，D选项中的元素，一个为点，一个为数，都不可能为同一集合，故B正确．3．有下列结论：①由1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②大于5的自然数构成的集合是无限集；③边长等于1的菱形构成的集合是有限集合；④某校高一入学成绩最好的学生构成的集合是有限集．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]②正确，①中集合的元素有5个，③中边长等于1的菱形，夹角不定，④不对，故①③④不正确．4．已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B[答案]B[解析]本题考查集合的关系与运算．A＝{x|x2－2x0}＝{x|x0或x2}∴A∪B＝R，故选B.5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a的范围是()A．a≤－1B．a≥1C．－1≤a≤1D．a≥1或a≤－1[答案]C[解析]∵P＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P，∴a∈P.即：－1≤a≤1.6．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．aAB．a∉AC．{a}∉AD．{aA[答案]D[解析]A是集合，a是元素，两者的关系应是属于与不属于的关系．{a}与A是包含与否的关系，据此，A、C显然不对．而1113，所以a是A的一个元素，{a}是A的一个子集．故选D.7．(2014·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}[答案]B[解析]本题考查集合的运算．A＝{x∈N|x2≥5}＝{x∈N|x≥5}，故∁UA＝{x∈N|2≤x5}＝{2}．选B.8．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为()A．{(1,2)}B．{(2,1)}C．{1,2}D．{x2－3x＋2＝0}[答案]C[解析]该集合为数集，所以A、B都不对，D是用列举法表示，但元素为方程x2－3x＋2＝0.9．设S＝R，M＝{x|－1x13}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥13}，则P等于()A．M∩NB．M∪NC．∁S(M∪N)D．∁S(M∩N)[答案]C[解析]∵M∪N＝{x|－1x13}∪{x|x≤－1}＝{x|x13}，∴∁S(M∪N)＝{x|x≥13}＝P.10．设U是全集，M、P、S是U的三个子集，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪(∁US)C．(M∩P)∪SD．(M∩P)∩(∁US)[答案]D[解析]阴影部分不属于S，属于P，属于M，故选D.11．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合{x∈Q|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．0[答案]D[解析]①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，∴①不正确．②当a＝0时，0∈N，∴②不正确．③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．④当x为正整数的倒数时6x∈N，∴{x∈Q|6x∈N}是无限集，∴④不正确．12．设集合M＝{x|x≤23}，a＝11＋b，其中b∈(0,1)，则下列关系中正确的是()A．aMB．a∉MC．{a}∈MD．{aM[答案]D[解析]由集合与集合及元素与集合之间的关系知，显然A、C不正确．又因为23＝12，所以当b＝0时，a＝11，可知1112，而当b＝1时，a＝12，可知D正确．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.[答案]{6,8}[解析]本题考查的是集合的运算．由条件知∁UA＝{6,8}，B＝{2,6,8}，∴(∁UA)∩B＝{6,8}．14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x1}，则(∁RM)∩N＝________.[答案]{x|x－2}[解析]∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁RM＝{x|x－2或x2}．又N＝{x|x1}，∴(∁RM)∩N＝{x|x－2}．15．设全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为________．[答案]{－3}[解析]如图阴影部分为(∁UA)∩B.∵A＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4，…，9,10}，B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，∴(∁UA)∩B＝{－3}．16．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3l＋1，l∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．[答案]SP＝M[解析]M、P是被3除余1的数构成的集合，则P＝M，S是被6除余1的数，则SP.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．[解析]∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4.18．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－2＝0}且A∪B＝A，求实数m组成的集合C.[解析]由A∪B＝A得B⊆A，因此B有可能等于空集．①当B＝∅时，此时方程mx－2＝0无解，即m＝0符合题意．②当B≠∅时，即m≠0，此时A＝{1,2}，B＝{2m}，∵B⊆A.∴2m＝1或2m＝2，∴m＝2或m＝1.因此，实数m组成的集合C为{0,1,2}．19．(本小题满分12分)设数集A＝{a2,2}，B＝{1,2,3,2a－4}，C＝{6a－a2－6}，如果C⊆A，C⊆B，求a的取值的集合．[解析]∵C⊆A，C⊆B，∴C⊆(A∩B)．又C中只有一个元素，∴6a－a2－6＝2，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，a2＝4,2a－4＝0满足条件；当a＝4时，a2＝16,2a－4＝4也满足条件．故a的取值集合为{2,4}．20．(本小题满分12分)已知M＝{x|x2－5x＋6＝0}，N＝{x|ax＝12}，若N⊆M，求实数a所构成的集合A，并写出A的所有非空真子集.[解析]∵M＝{x|x2－5x＋6＝0}，解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}．∵N⊆M，∴N为∅或{2}或{3}．当N＝∅时，即ax＝12无解，此时a＝0；当N＝{2}时，则2a＝12，a＝6；当N＝{3}时，则3a＝12，a＝4.所以A＝{0,4,6}，从而A的所有非空真子集为{0}，{4}，{6}，{0,4}，{0,6}，{4,6}．21．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求a的值．[解析](1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B，即x2－ax＋a2－19＝x2－5x＋6，∴a＝5.(2)由已知有B＝{2,3}，C＝{－4,2}．∵∅A∩B)，A∩C＝∅，∴3∈A，而－4,2∉A.由32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{3，－5}，符合题意，当a＝5时，A＝{3,2}，与A∩C＝∅矛盾，∴a＝－2.(3)若A∩B＝A∩C≠∅，则有2∈A.由22－2a＋a2－19＝0，得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{3,2}，不符合条件，当a＝－3时，A＝{－5,2}，符合条件．∴a＝－3.22．(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.(1)请你写出符合条件，且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个．(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析](1)由题意可知，若集合S中含有一个元素，则应满足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．若集合S中含有两个元素，设S＝{a，b}，则a，b∈N＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一个：{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，若集合S中含有3个元素，由集合S满足的性质可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个．(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示：S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4个．(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，则S中元素个数为奇数个，若5∉S，则S中元素个数为偶数个．