2016高中数学 第一、二章测试题 北师大版必修1

第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合M＝{x|－1x3}，N＝{x|－2x1}，则M∩N＝()A．(－2,1)B．(－1,1)C．(1,3)D．(－2,3)[答案]B[解析]由M＝{x|－1x3}，N＝{x|－2x1}，得M∩N＝(－1,1)，选B.2．已知集合M＝{x|－2x3}，则下列结论正确的是()A．2.5∈MB．0⊆MC．∅∈MD．集合M是有限集[答案]A[解析]因为－22.53，所以2.5是集合M中的元素，即2.5∈M.3．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪12，2B．(－∞，2]C.－∞，12∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]A[解析]∵x∈(－∞，1)∪[2,5)∴x－1∈(－∞，0)∪[1,4)当x－1∈(－∞，0)时，2x－1∈(－∞，0)；当x－1∈[1,4)时，2x－1∈12，2.4．已知函数f(x)＝1＋x21－x2，则()A．f(x)是奇函数且f(1x)＝－f(x)B．f(x)是奇函数且f(1x)＝f(x)C．f(x)是偶函数且f(1x)＝－f(x)D．f(x)是偶函数且f(1x)＝f(x)[答案]C[解析]f(－x)＝1＋－x21－－x2＝1＋x21－x2＝f(x)，又f(1x)＝1＋1x21－1x2＝－(1＋x21－x2)＝－f(x)．故选C.5．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是()A．x＝12，12，78B．x＝14，14，78C．x＝12，12，74D．x＝14，14，74[答案]B[解析]∵y＝2x2－x＋1＝2x－142＋78，∴对称轴为x＝14，顶点坐标为14，78.6．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是()A．－1B．0C．1D．1或－1[答案]A[解析]由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.7．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋12x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为()A．18件B．36件C．22件D．9件[答案]A[解析]y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－12x2＝－12x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．8．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)＝()A．3B．3xC．6x＋3D．6x＋1[答案]B[解析]由f[g(x)]＝f(2x＋1)＝6x＋3＝3(2x＋1)，知f(x)＝3x.9．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A．(－2,1]B．(－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)[答案]C[解析]本题考查集合的运算，由条件易知∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．10．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系是()A．MPB．PMC．M＝PD．M⃘P，且P⃘M[答案]A[解析]由题设可知M、P都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P.这说明集合M中的任何一个元素1＋a2(a∈N＋)都是集合P的元素，∴M⊆P.又1∈P，此时a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＝1，即a＝2.而1∉M，因为此时1＋a2＝1在a∈N＋时无解．∴综合知MP.11．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)0，则实数a的取值范围是()A．(32，2]B．(32，＋∞)C．[1，32)D．(－∞，32)[答案]D[解析]∵f(x)在[0，＋∞)单调递减且f(x)为奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)f(a－1)，∴2－aa－1，∴a32，故选D.12．如果奇函数y＝f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)上，满足f(x)＝x－1，那么使f(x－1)0成立的x的取值范围是()A．x0B．1x2C．x2且x≠0D．x0或1x2[答案]D[解析]x0时，－x0.由题设f(－x)＝－x－1.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x＋1xx－1x，∴不等式f(x－1)0化为x－10x0，或x－10x－20.∴x0或1x2.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x－1或2≤x3}，B＝{x|－2≤x4}，则(∁UA)∪B＝__________.[答案]{x|x≥－2}[解析]由数轴得，∁UA＝{x|－1≤x2或x≥3}，再由数轴得，(∁UA)∪B＝{x|x≥－2}．14．若x，yx＋y＝1x－y－3＝0⊆{(x，y)|y＝ax2＋1}，则a＝________.[答案]－12[解析]由x＋y＝1x－y－3＝0得x＝2y＝－1，由题意知，－1＝4a＋1，∴a＝－12.15．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数g(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)0a12的定义域为________．[答案][a,1－a][解析]由已知得0≤x＋a≤10≤x－a≤1⇒－a≤x≤1－a，a≤x≤1＋a.∵0a12，得a≤x≤1－a.∴g(x)的定义域为x∈[a,1－a]．16．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原像；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)[答案]②③[解析]当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原像时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x6}，B＝{x|2x9}．(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知C＝{x|axa＋1}，若C⊆B，求实数a取值构成的集合．[解析](1)A∩B＝{x|3≤x6}．∵∁RB＝{x|x≤2，或x≥9}，∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x6，或x≥9}．(2)∵C⊆B，如图所示：∴a≥2a＋1≤9，解得2≤a≤8，∴所求集合为{a|2≤a≤8}．18．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－4x＋3.(1)求f(f(－1))的值；(2)求函数f(x)的解析式．[解析](1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，故f(f(－1))＝f(0)，由奇函数的性质知f(0)＝0，从而有f(f(－1))＝0.(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；当x0时，－x0，故f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)＋3]＝－x2－4x－3.综上所述，f(x)＝x2－4x＋3，x0，0，x＝0，－x2－4x－3，x0.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f(x)＝x2－2x.(1)画出偶函数f(x)的图像；(2)根据图像，写出f(x)的单调区间；同时写出函数的值域．[解析](1)f(x)的图像如图所示．(2)由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1)，(0,1)．f(x)的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)，值域为{y|y≥－1}．20．(本小题满分12分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c.从而，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0⇒a＝1，b＝－1又f(0)＝c＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由(1)及f(x)2x＋m⇒mx2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则当x∈[－1,1]时，g(x)＝x2－3x＋1为减函数，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，从而要使不等式mx2－3x＋1恒成立，则m－1.21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈R，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x1时，f(x)0.求证：(1)f(1)＝0；(2)对任意的x∈R，都有f(1x)＝－f(x)；(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性．[解析](1)证明：令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)＋f(1)⇒f(1)＝0.(2)对任意x0，用1x代替y，有f(x)＋f(1x)＝f(x·1x)＝f(1)＝0，∴f(1x)＝－f(x)．(3)f(x)在(－∞，0)上是减函数．取x1x20，则x1x21，∴f(x1x2)0，∵f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(1x2)＝f(x1x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c∈R)，且同时满足下列条件：①f(－1)＝0；②对任意实数x，都有f(x)－x≥0；③当x∈(0,2)时，有f(x)≤(x＋12)2.(1)求f(1)；(2)求a，b，c的值；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(m∈R)是单调函数，求m的取值范围．[解析](1)由f(－1)＝0，得a－b＋c＝0，①令x＝1，有f(1)－1≥0和f(1)≤(1＋12)2＝1，∴f(1)＝1.(2)由f(1)＝1得a＋b＋c＝1②联立①②可得b＝a＋c＝12，由题意知，对任意实数x，都有f(x)－x≥0，即ax2＋(a＋c)x＋c－x≥0，即ax2－12x＋c≥0对任意实数x恒成立，于是a0Δ≤0即a0，14－4ac≤0.∵c＝12－a，∴a014－2a＋4a2≤0⇒a0a－122≤0⇒a＝14，∴a＝c＝14，b＝12.(3)由(2)