高三数学复习不等式

中小学课外辅导机构高三数学复习不等式高考风向标不等式的概念和性质，2元均值不等式．不等式的证明（比较法、分析法、综合法）．不等式的解法（一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式）不等式的综合应用（求最值、求参数的取值范围、解答实际问题）．典型题选讲例１已知（0x，0y）是直线21xyk与圆22223xykk的交点，则当00xy取最小值时，则实数k的值等于（）（A）422（B）422（C）1（D）3讲解：由交点满足方程，便得002220021,23.xykxykk对第１个等式两边平方后减去第２个等式，立即得出220023643(1)1xykkk．故当00xy取最小值12时，实数k对于的值等于１，应该选C．点评:此题是一道解析几何面孔呈现的代数最值问题，解答中建立函数00()xyfk，而()fk是二次函数，其求最值的方法自然就想到了是配方法！例２设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．讲解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线（由|m|≤2知它实质是一条线段），且使|m|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立．所以(2)0,f(2)0,f＞－＞即222x2x10,2x2x30,－－＞＋－＜中小学课外辅导机构－＋＜＜－－－＋＜或＞所以213x217＋＜＜－．点评：没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的神奇作用．例３若02,则函数224224sincos()sincossincosf的最大值是________．讲解：由对称性，可以猜想：当sincos时，函数()f取得最大值43．于是，就将求最值问题转化为不等式证明问题了．令22sin,cosab，,abt则.410，t由,1ba得,2122abba.3133abba于是3422babbaa,01140154443143213444334332222223322222222abababbabaababababbaabbabaabbababababbaa这是显然成立的，故当,ab即4时，max4(),3f应填4.3点评：换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题，而猜想最值又将问题转化为不等式证明．应用分析法是证明不等式的有效方法之一，它可以化生为熟、化繁为简．例４某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从中小学课外辅导机构％，在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.(１)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？(２)长期服用的人这种药会不会产生副作用？讲解：（1）设人第n次服药后，药在体内的残留量为na毫克.则4.1220%)601(220,220121aaa，2.343%)601(22023aa，（2）由)2)(31100(4.0311004.022011naaaannnn可得，31100na是一个以数311001a为首项，0.4为公比的等比数列，04.0)31100(3110011nnaa，38631100na，不会产生副作用．点评：本题是一道数列与不等式综合的应用性问题，它紧密结合人们的生活实际，是一道既考知识，又考能力的好问题．例５已知a0，函数f(x)=ax－bx2．(１)当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a2b；(２)当b1时，证明对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b-1a2b；(３)当0b1时，讨论：对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件．讲解(１)对已知二次函数应用配方法，得中小学课外辅导机构()()24aafxbxbb，当xR时，f(x)max=ba42，于是，对任意xR都有f(x)1f(x)max=ba421a2b．(２)用f(x)max、f(x)min表示f(x)在[0,1]上的最大值、最小值，则对任意x[0,1],都有|f(x)|1当且仅当maxmin()1,()1,fxfx（*）而f(x)=-b(x－2)2ba+ba42，（x[0,1]）当2ba时，0ba21，f(x)max=ba42，f(x)min=f(0)或f(1)；当2ba时，ba21,f(x)max=f(1)，f(x)min=f(0)．于是(*)212,1,4(0)01,(1)1,bbaabffab且或12,(1)1,(0)01.bbafabf且b-1a2b或xb-1a2b．故对任意x[0,1],都有|f(x)|1的充要条件是b-1a2b．中小学课外辅导机构(３)由(２)的解答知，对任意x[0,1],都有|f(x)|1当且仅当22001,1,4(0)01,(1)1,bababffab且或201,(1)1,(0)01.babfabf且0a2b或2bab+10ab+1．故当0b1时，对任意x[0,1]，都有|f(x)|1的充要条件为0ab+1．点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．读者在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．例6（1）已知,ab是正常数，ab，,(0,)xy，求证：222()ababxyxy，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12fxxx（1(0,)2x）的最小值，指出取最小值时x的值．讲解：（1）应用２元均值不等式，得2222222222()()2abyxyxxyababababxyxyxy2()ab，故222()ababxyxy．当且仅当22yxabxy，即abxy时上式取等号．（2）由（1）22223(23)()252122(12)fxxxxx．中小学课外辅导机构，即15x时上式取最小值，即min[()]25fx．点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．例７如图，A、B为函数yxx3112()图像上两点，且AB∥x轴，点M（1，m）（m3）是△ABC边AC的中点．（1）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式)(tfS；（2）求函数)(tfS的最大值，并求出相应的点C的坐标．讲解：先引如点A，B的坐标，再逐步展开解题思维．（1）设B()tt，32，A()tt，32，]10(，t，M是△ABC边AC的中点，则)3(2)3(2212222tmttmtSSABM··△，∴Sfttmtt()()()23012．（2）∵Cxy()00，，M（1，m）是△ABC边AC的中点∴002200122323.2xtxtytymtm，，，∴点，Ctmt()2232．当39m时，Stmttmtmtmm432363349222222()()()·．当且仅当2236tmt，即3mt时，S的最大值是mm94，此时点C的坐标是中小学课外辅导机构32322mmm，．当m9时，)(tfS在区间（0，1）上是增函数，证明如下：设22121212112201()()2()[3()]ttftftttmtttt，则．∵01011212ttt，，0122t，3)(30222121tttt，又3m，∴0)(3222121ttttm．又tt120，∴0)()(21tftf，∴)()(21tftf，∴)(tfS在（0，1）上为增函数，故1t时，62)1(maxmfS，此时)323(mC，．点评：本题是笔者自编的一道试题，曾作为陕西省高三的会考试题．此题的解答如果改为应用导数知识，其解法就要简洁的多了，请读者不妨一试．例8过点)0,1(P作曲线kxyC:（),0(x，Nk，1k）的切线切点为1Q，设1Q点在x轴上的投影是点1P；又过点1P作曲线C的切线切点为2Q，设2Q点在x轴上的投影是点2P；……；依此下去，得到一系列点,,,,21nQQQ，设点nQ的横坐标是na．（1）求证：nnkka)1(，Nn；（2）求证：11knan；（3）求证：kkainii21（注：121niniaaaa）．讲解：（１）对kyx求导数，得/1kykx．中小学课外辅导机构若切点是(,)knnnQaa，则切线方程是1()kknnnyakaxa．当1n时，切线过点(1,0)P，即11110(1)kkakaa，得11kak；当1n时，切线过点11(,0)nnPa，即110()kknnnnakaaa，得11nnakak．所以数列{}na是首项为1kk，公比为1kk的等比数列，nnkka)1(，Nn．（２）应用二项式定理，得1()(1)11nnnkakk0122011111()()111111nnnnnnnnnCCCCCCkkkkk至少2项．（３）记121121nnnnnSaaaa，则2311121nnnknnSkaaaa，两式相减，得121121111111(1)nnnnknSkaaaaaaa，11[1()]1111nnkkkkSkkkk，故2nSkk．点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．针对性演练1．已知ba,是正实数，则不等式组,xyabxyab是不等式组,xayb成立的（）（A）充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分又不必要条件中小学课外辅导机构．若a,bR则|a|1，|b|1，是|a+b|+|a-b|2成立的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（A）0≤m≤4（B）1≤m≤4（C）m≥4或x≤0（D）m≥1或m≤0４．若对任意的长方体A，都存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比和体积之比都等于k，则k的取值范围是（）（A）0k（B）10k（C）1k（D）1k５．不等式|x2－x－6|＞3－x的解集是（