专题38 基本不等式(原卷版)

专题38基本不等式专题知识梳理1．基本不等式如果a、b是正数，那么ab≤a＋b2(当且仅当a＝b时取“＝”)，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；(2)a＋b2≥ab；(3)ba＋ab≥2(a与b同号)；(4)ab≤_(a＋b2)2(a、b∈R)；(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a、b∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P(简记：积定，和有最小值)．(2)如果和x＋y的定值为S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值14S2(简记：和定，积有最大值)．考点探究考向1利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．题组训练1.设x0，y0，若111xy，则2211xy的最小值是2.设x,y为正实数，若2241xyxy，则2xy的最大值是．3.若不等式220axxb的解集为1{|}xxa，则式子222()ababab最小值为．4.已知a0，b0，a+b=2，求14ab的最小值．5.若,abR，0ab，则4441abab的最小值为___________.6.若实数,xy满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为．7.已知正数yx,满足x+y=1，则4121xy的最小值为．8.设ab0，则的最小值是.考向2利用基本不等式求参数的值或取值范围【例】（1）若函数y＝1x－1＋ax(a＞0，x＞1)的最小值为3，则a＝．（2）已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为．211aabaab题组训练1.若存在正实数x，使得22131xaxx成立，则a的取值范围是.2.已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．3.已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为．