与圆有关位置关系讲义 (1)

第二章直线与圆的位置关系回顾复习：点和圆的位置关系点与圆三种位置关系点与圆的位置关系点在圆内dr点C在圆内点在圆上d＝r点B在圆上点在此圆外dr点A在圆外【基础知识填空】1．平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有dr点P在⊙O______；d=r点P在⊙O______；dr点P在⊙O______．2．平面内，经过已知点A，且半径为R的圆的圆心P点在__________________________．3．经过平面上两个点可以画个圆，圆心一定在.4．_________________________三个点确定一个圆．5．在⊙O上任取三点A，B，C，分别连结AB，BC，CA，则△ABC叫做⊙O的______；⊙O叫做△ABC的______；O点叫做△ABC的______，它是△ABC___________的交点．6．锐角三角形的外心在三角形的_____部，钝角三角形的外心在三角形的_____部，直角三角形的外心在____．【练习题】7．若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积为___________．8．若正△ABC的边长为a，则它的外接圆的面积为___________．9．若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径为___________．10．若△ABC内接于⊙O，BC=12cm，O点到BC的距离为8cm，则⊙O的周长为___________．11．已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出()．A．5个圆B．8个圆C．10个圆D．12个圆12．13．下列说法正确的是()．A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形的中心C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上13．下列说法不正确的是()．A．任何一个三角形都有外接圆B．等边三角形的外心是这个三角形的中心C．直角三角形的外心是其斜边的中点D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部14．正三角形的外接圆的半径和高的比为()．A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶315．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P()．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部16．在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的⊙O，试确定点A(－2，－3)，B(4，－2)，)2,32(C与⊙O的位置关系．rddCBAO2本知识点很简单，但是拓展一下：定角构造圆，求最值问题。举例：如图，∠MON＝60°，直角三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝3，顶点A、B分别在OM、ON上移动，则点O到顶点A的最大距离为_________；点O到顶点C的最大距离为_________．MONCAB32.1直线与圆的位置关系•直线与圆相离dr无交点•直线与圆相切d＝r有一个交点•直线与圆相交dr有两个交点圆外角的问题：以圆外的点为顶点与圆上任意两点构成的角一定小于圆周角。当圆外点沿着直线运动，相切时，便形成圆周角，即是最大值。（六）切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心②过切点③垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件∵MN是切线∴MN⊥OA弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则AOCACPAC21弧21推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则PACABC总之，ABCAOCACPAC21弧21证明其实很简单。【基础知识填空】1．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________，这个公共点叫做_________．直线和圆____________时，叫做直线和圆相离．2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，_________________直线l和圆O相离；_________________直线l和圆O相切；_________________直线l和圆O相交．3．圆的切线的性质定理是__________________________________________．4．圆的切线的判定定理是__________________________________________．drd=rrdNMAOOPBCA4【练习题】例1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?例2．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．例3．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．5强化训练1、⊙O的半径是6，圆心到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2、如图1，AB与⊙O切于点B，AO＝6㎝，AB＝4㎝，则⊙O的半径为（）A、45㎝B、25㎝C、213㎝D、13㎝3、如图2，已知⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则么∠P等于（）A．150B．200C．250D．300图1图2图34、如图3，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（）A．41B．40.14.60CD5、已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．FEDCBAOBACO66、已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．7、已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．8、已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．79、已知：如图，割线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．10、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D点，.21BCAD以△ABC的中位线为直径作半圆O，试确定BC与半圆O的位置关系，并证明你的结论．82.2-2.3切线长定理与三角形内切圆一、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径2abcr；（2）△ABC的周长为a+b+c=l，面积为S，其内切圆的半径为r，则)(2121cbarlrScbaSr2，注意若S确定r与l成反比。即三边和l越小r越大，内切圆面积越大。二、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PA＝PBPO平分∠BPA三、相交弦定理圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P∴PA·PB＝PC·PA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD∴CE＝DE＝EA·EB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线∴（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC·PB＝PD·PE4、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB＝（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt△OAE中进行，OE:AE:OA＝（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt△OAB中进行，AB:OB:OA＝【基础知识填空】1．经过圆外一点作圆的切线，______________________________叫做这点到圆的切线长．2.从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________平分____________．3．三角形的三个内角的平分线交于一点，这个点到__________________相等．4．_________________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是_________，叫做三角形的__________．PBAOPODCBAOEDCBADECBPAO2PAPCPB1:3:21:1:21:3:29例1、已知：如图，△ABC．求作：△ABC的外接圆与内切圆⊙O．例2、已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．例3、已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．10强化训练1、图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A．60°B．75°C．105°D．120°2、如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．图1图2图33、图4，⊙O内切于ABC△，切点分别为DEF，，．已知40B°，60C°，连结OEOFDEDF，，，，那么EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°4、若⊙O的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为（）A.30°B.４5°C.60°D．９0°5、若AB、AC分别切⊙O于B、C，延长OB到D使BD＝OB，连AD，∠DAC＝78°，则∠ADO＝（）A.56°B.3９°C.6４°D.78°6、如图7—153，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是（）A.10B.12C.14D.167、如图：AB、AC切⊙O于B、C，BC交OA于D，则图中的直角三角形共有（）A.3B.4C.5D.68、如图：△ABC与⊙O分别切于D、E、F，DE∥BC，AB=8，AD=5，则BC的长为（）A.3B.6C.8D.无法求出二、填空题1、已知⊙O的半径是4cm，点P和圆心O的距离为8cm，经过点P作⊙O的两条切线，则两条切线夹角为________度．2、ABCD是⊙O的外切等腰梯形，若上底CD=4cm，圆的半径是3cm，则腰长为3、作一个半径为2cm的圆，使它与已知60°角的两边都相切，则圆心到角的顶点的距离是__________；4、⊙O的半径为2，弦AB＝23，过A、B两点