100教育：高考数学选择题的解题策略

高考数学选择题的解题策略数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。（一）数学选择题的解题方法1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为（）12527.12536.12554.12581.DCBA解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。12527)106(104)106(333223CC故选A。例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。例3、已知F1、F2是椭圆162x+92y=1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．11B．10C．9D．16解析：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入，得|AF1|+|BF1|＝11，故选A。例4、已知log(2)ayax在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．[2，+∞）解析：∵a0,∴y1=2-ax是减函数，∵log(2)ayax在[0，1]上是减函数。∴a1，且2-a0，∴1a2，故选B。2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。（1）特殊值例5、若sinαtanαcotα(24)，则α∈（）A．(2，4)B．（4，0）C．（0，4）D．（4，2）解析：因24，取α=－6π代入sinαtanαcotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。例6、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（）A．－24B．84C．72D．36解析：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a1=48,a2=S2－S1=12，a3=a1+2d=－24，所以前3n项和为36，故选D。（2）特殊函数例7、如果奇函数f(x)是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（）A.增函数且最小值为－5B.减函数且最小值是－5C.增函数且最大值为－5D.减函数且最大值是－5解析：构造特殊函数f(x)=35x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。例8、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（）A．①②④B．①④C．②④D．①③解析：取f(x)=－x，逐项检查可知①④正确。故选B。（3）特殊数列例9、已知等差数列{}na满足121010aaa，则有（）A、11010aaB、21020aaC、3990aaD、5151a解析：取满足题意的特殊数列0na，则3990aa，故选C。（4）特殊位置例10、过)0(2aaxy的焦点F作直线交抛物线与Q、P两点，若PF与FQ的长分别是q、p，则qp11（）A、a2B、a21C、a4D、a4解析：考虑特殊位置PQ⊥OP时，1||||2PFFQa，所以11224aaapq，故选C。例11、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是()解析：取2Hh，由图象可知，此时注水量V大于容器容积的12，故选B。（5）特殊点例12、设函数()2(0)fxxx，则其反函数)(1xf的图像是（）A、B、C、D、解析：由函数()2(0)fxxx，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f－1(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f－1(x)的定义域为{|2}xx，故选C。（6）特殊方程例13、双曲线b2x2－a2y2=a2b2(ab0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos2等于（）A．eB．e2C．e1D．21e解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为42x－12y=1，易得离心率e=25,cos2=52，故选C。（7）特殊模型例14、如果实数x,y满足等式(x－2)2+y2=3，那么xy的最大值是（）A．21B．33C．23D．3解析：题中xy可写成00xy。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=1212xxyy，可将问题看成圆(x－2)2+y2=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。例15、已知α、β都是第二象限角，且cosαcosβ，则（）A．αβB．sinαsinβC．tanαtanβD．cotαcotβ解析：在第二象限角内通过余弦函数线cosαcosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。例16、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a＋3b|=（）A．7B．10C．13D．4解析：如图，a＋3b＝OB，在OAB中，||1,||3,120,OAABOAB由余弦定理得｜a＋3b|=｜OB｜＝13，故选C。例17、已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（）A．4B．5C．6D．7解析：等差数列的前n项和Sn=2dn2+(a1-2d)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-90,S3=S7,可表示如图，由图可知，n=5273,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn最小，故选B。4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A—F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如：用十六进制表示E+D=1B，则A×B=（）A.6EB.72C.5FD.BO解析：采用代入检验法，A×B用十进制数表示为1×11=110,而6E用十进制数表示为6×16＋14=110；72用十进制数表示为7×16＋2=1145F用十进制数表示为5×16＋15=105；B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A。例19、方程lg3xx的解0x()A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，+∞）解析：若(0,1)x，则lg0x，则lg1xx；若(1,2)x，则0lg1x，则1lg3xx；若(2,3)x，则0lg1x，则2lg4xx；若3,lg0xx,则lg3xx，故选C。5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只357OnnSOABa3bba＋3b有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。例20、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）A．（1，2]B．（0，23]C．[21，22]D．（21，22]解析：因x为三角形中的最小内角，故(0,]3x，由此可得y=sinx+cosx1，排除B,C,D，故应选A。例21、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（）A．不会提高70%B．会高于70%，但不会高于90%C．不会低于10%D．高于30%，但低于100%解析：取x＝4，y＝0.33-0.360.36·100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y＝3.19-1.81.8·100%≈77.2%，排除A，故选B。例22、给定四条曲线：①2522yx，②14922yx，③1422yx，④1422yx,其中与直线05yx仅有一个交点的曲线是()A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线14922yx是相交的，因为直线上的点)0,5(在椭圆内，对照选项故选D。6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。（1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。例23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26B．24C．20D．19解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。例24、设球的半径为R,P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是2R，则这两点的球面距离是（）A、R3B、22RC、3RD、2R解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。例25、已知)2(524co