专题20-等角存在性问题-2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破

中物理等角存在性问题1构造相等角除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理：1=221三角函数：若tan1=tan2，则1=212全等三角形：1=212等腰三角形：1=212角平分线：1=212平行：1=3，2=3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~【2017来宾中考删减】如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C和点1C关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且1PABCAC，求点P的横坐标．C1OABCxy【分析】（1）抛物线：2142yxx；（2）由题意得：1C坐标为（2，-4），考虑到A、C、1C三点坐标均已知，故可求1CAC的三角函数值．思路1：构造直角三角形过点1C作1CH⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），故12HC，32HA，∴11tan3CAC，则1tan3PAB．P2P1C1OABCxyHHyxCBAOC1转化“1tan3PAB”为“13PAk”，即13PAk．①当13PAk时，设PA解析式为13yxb，将A（4，0）代入，得：1433yx，联立方程：21144233xxx，解得：14x，243x，故1P坐标为416,39；②当13PAk时，设PA解析式为13yxb，将A（4，0）代入，得：1433yx，联立方程：21144233xxx，解得：14x，283x，故2P坐标为820,39．综上所述，P点坐标为43或83．思路2：发现特殊角．MyxCBAOC1如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考虑11tan2MAC，可知11tan3CAC，下同思路1求解P点坐标．【2019德州中考删减】如图，抛物线2542ymxmx与x轴交于1,0Ax，2,0Bx两点，与y轴交于点C，且21112xx．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．OABCDExy【分析】（1）2215442112mmxxm，解得：23m．抛物线：225433ymm．（2）思路：化角度正切值为“k”令2254033mm，解得：132m，24m，即A点坐标为3,02，B点坐标为（4，0）．考虑C（0，-4）、D（1，-5），连接BC，易证△BCD是直角三角形，MOABCDExy42tan42BCBDCCD，若∠MCE=∠BDC，则tan∠MCE=4，14CEk．设CE解析式为：144yx，又BD解析式为：52033yx，联立方程：15204433xx，解得：3223x，故M点坐标为32100,2323．【2018娄底中考】如图，抛物线2yaxbxc与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x1，y0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．FOABCDExy【分析】（1）抛物线：223yxx，D点坐标为（1，4）；（2）①铅垂法可解，当F坐标为（2，3）时，△BDF面积最大，最大值为1；②思路1：构造平行线．考虑到A、E、B三点均在x轴上，故可构造EF∥BD即可得角相等．FFOABCDExyFFyxEDCBAOF过点E作EF∥BD交抛物线与F点，考虑到BD解析式：26yx，故可求EF的解析式为：22yx，联立方程：22322xxx，解得：125x，225x（舍）．故F点坐标为25,225．将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，FFOABCDExyFFyxEDCBAOF且翻折后的直线解析式为：22yx，联立方程：22322xxx，解得：15x，25x（舍）．故F点坐标为5,252．综上，F点坐标为25,225或5,252．思路2：三角函数值．设F点坐标为2,23mmm，过F点作FH⊥x轴交x轴于H点，则H点坐标为,0m，223FHmm，1EHm，222323tan211mmFHmmAEFEHmm解得：125x，225x（舍），35x，45x（舍）．故F点坐标为25,225或5,252．【2019海南中考】如图，已知抛物线25yaxbx经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．OPABCDxy（1）抛物线：265yxx；（2）①当点P在直线BC上方时，如图，过点B作DC的平行线，与抛物线交点即为P点，不难求得直线BP解析式为：25yx，联立方程：26525xxx，解得：14x，20x，故P点坐标为（0，5）．yxDCBAPO②当点P在直线BC下方时，思路1：利用三角函数值．连接BD，可得BD⊥BC，可得1tan3BCD，若∠PBC=∠BCD，则需满足1tan3PBC，但鉴于BC并非水平或竖直直线，故1tan3PBC这个条件并不好用．考虑到B、C点坐标的特殊性，可以发现，过点B作BM⊥x轴，易得△BMC是等腰直角三角形，即有∠MBC=∠MCB，NMyxDCBAPOOPABCDxy可转化问题“∠PBC=∠BCD”为“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”，即∠PBM=∠DCM．由题意得：tan2DCM，故tan2PBM，转化为直线BP的条件即为“12BPk”，可得直线BP解析式为：112yx，联立方程：216512xxx，解得：14x，232x．故P点坐标为37,24．综上所述，P点坐标为（0，5）或37,24．思路2：构造对称．不难发现，情况①中的直线BP和情况②中的直线BP是关于直线BC对称，故两个BP的k相乘为1，可知情况②中的12BPk．可知BP解析式：112yx．同思路1求得P点坐标．【2017丹东中考删减】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线234yxbxc经过A、B两点，与y轴交于点D（0，-6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使CANMAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图yxCBAOEDDEOABCxy【分析】（1）抛物线：233642yxx；（2）思路：角平分线构造相等角①当M点在A点右边时，作∠CAM角平分线，与抛物线交点即为所求N点．令2336042xx，解得：14x，22x，故A点坐标为（-2，0），AN=6，BC=8．即4tan3CAB，根据特殊角的结果，可得11tantan22NABCAB，故直线AN解析式为：112yx，联立方程：233161422xxx，解得：12x，2143x，故N点坐标为1410,33．MMyxCBAOEDN1N2N1DEOABCxy②当M点在A点左边时，作∠CAM角平分线，其所在直线与抛物线交点即为所求N点．由题意可知此时AN与情况①中的角平分线互相垂直，可知AN解析式：24yx，联立方程：23362442xxx，解得：12x，243x，故N点坐标为420,33．综上所述，N点坐标为1410,33、420,33．构造等腰三角形：等边对等角【2018玉林中考删减】如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线2yxbxc与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．备用图yxFCAPOOPABCFxy【分析】（1）P（3，4），抛物线：234yxx；（2）当M点在C、P之间的抛物线上时，思路：构造平行M点在C点位置时，PM∥OA，有∠MPO=∠POA，此时M点坐标为（0，4）；NMMOPACFxyyxFCAPO当M点在P、F之间的抛物线上时，思路：构造等腰三角形延长PM与x轴交于点N，若∠MPO=∠POA，则△OPN为等腰三角形，其中NP=NO，设N点坐标为（n，0），则NO=n，222304316NPnn，当NO=NP时，即2316nn，解得：256n，直线PN解析式为：2410077yx，联立方程：2241002377xxx，解得：13x，2247x．故M点坐标为24124,749．综上所述，M点坐标为（0，4）或24124,749．【2019泰安中考删减】若二次函数2yaxbxc的图像与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，-2），且过点C（2，-2）．（1）求二次函数表达式；（2）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．OABxyM【分析】（1）抛物线：224233yxx；（2）考虑到3tan2ABO，但tan2ABO并不可求，以及AB平分∠OBM也并不容易转化，故考虑其他思路．思路1：构造全等三角形．作△AOB关于AB的对称的△ANB，BN与抛物线的交点即为M点．求N点坐标：构造△AEN∽△NFB，不难解得N点坐标为2436,1313．EFOABxyNNyxBAO故直线BN解析式为：5212yx，联立方程：2245223312xxx，解得：10x，2118x．即M点横坐标为118，故M点到y轴的距离为118．思路2：构造等腰三角形考虑直接分析∠ABO=∠ABM并不容易，可寻找与∠ABO的相等角．过点A作AH⊥x轴，延长BM与AH交于H点，则∠BAH=∠ABO=∠ABH，△ABH是等腰三角形，即AH=BH，设H点坐标为（3，m），则AH=-m，22302BHm令22302mm，解得：134m．故H点坐标为133,4．HMyxBAO由