接触问题分析-10

1接触问题分析目的：以接触问题为例，介绍边界非线性问题。特点：与线性有限元方法比较，边界条件是待求的。内容：引言经典的接触问题求解方法数学规划方法求解接触问题2引言（1/5)接触现象是普遍存在的。实际的工程结构系统往往分成几个非永久性连在一起的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲击来传递。研究现状：简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究，但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有了长足发展，并达到实用化程度。接触实例：齿轮的齿间啮合；汽（气）轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接；两物体的撞击（动态接触）。接触问题的特点：属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。3引言（2/5)研究内容：对以上四方面内容，不少学者进行了研究，提出了不同的理论与方法，对同一问题，各种理论各有优缺点，尚未达到共识。基于接触问题的难度、研究的不成熟、加之其实用性，它一直是固体力学研究的热点。接触模式问题：描述两接触体间的力的传递、描述不同载荷下接触状态的变化；（解决如何描述的问题）几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件；（解决到底以什么具体形式来描述、即怎样描述？）摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间的关系；求解方法问题：建立数学方程并加以求解。4引言（3/5)研究内容浅析：接触模式问题：解决接触面上接触力的传递问题。点－面（node-to-surface）接触模式：先将两接触体人为地分为主动体（masterbody）与被动体（slavebody），并假定主动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一定是网格结点）相接触。优点－两接触体可根据自身情况剖分网格。缺点－方法较复杂、编程难度大。点－点（node-to-node）接触模式：将两接触体的接触面分成同样的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地按结点对来判断。优点－直观、简单、易于编程。缺点－对于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。5引言（4/5)研究内容浅析:（续）几何约束问题：与接触模式密切相关。实际上，在接触模式确定的同时，接触体边界的约束性也随之确定，即相应地以点对点形式或点对面形式可对接触面间的几何约束予以描述。摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑（Coulomb）摩擦定律，其中的摩擦系数为常数。实际上，摩擦系数不仅取决于接触体的材料，而且与接触面光滑度、材料的加工过程、接触面润滑条件、表面压力等多种因素有关。即使是同样的接触物体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理非常复杂，因此，目前仍然多采用库仑摩擦定律，只是将静、动摩擦系数分开处理。本章介绍接触问题的经典解法时，也采用库仑摩擦定律；介绍接触问题的数学规划解法时，将采用数学上表述更严谨的Klarbring广义摩擦定律。2021/9/96引言（5/5)研究内容浅析:（续）求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精力。数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统总势能极值（或驻值）问题，其涉及的命题可表述为：经典方法：利用有限元方法，通过迭代进行求解。寻求一组位移矢量；使系统总势能取驻值；并满足条件。q0hq目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问题的控制方程。这是由于大型工程结构分析，大多都采用有限元方法，而经典方法仍然在此框架之内。本章则侧重介绍接触问题的数学规划解法，主要从可研究的角度考虑。二次规划问题线性互补问题引入单边约束条件2021/9/97经典的接触问题求解方法（1/3)一般采用三个假设：接触表面是凸的、连续的；接触表面服从库仑摩擦定律；接触模式是点－点接触模式。接触的A、B两物体(a)可能接触区；(b)接触区局部坐标系(a)AB可能接触区边界的接触状态（判定性条件）分别为：1）开式（opening）接触：此时，即法向间隙大于等于0；0zr2）粘式（cohesive）接触：此时（，）；即法向无间隙，且在一个载荷增量步始末，整个切平面无相对滑动；0zr0xr0yr3）滑移（sliding）接触：此时，且，即法向无间隙，且切平面的两个方向均有相对滑动；0zr0xr0yr4）混合（mixed）接触：此时，与中一个为0、一个不为0，即法向无间隙，切平面的一个方向无相对滑动、而另一个方向有相对滑动。0zrxryry(b)xz（法向）（切平面）r表示接触点对间的间隙2021/9/98经典的接触问题求解方法（2/3)定解条件：四类接触状态，对应的定解条件为：1）开式0allblblFFFF,,lxyz2）粘式,,0,alblalblazbzzFFlxyzqqlxyqqr3）滑移1,,cossintanalblaxaxazazayayazazbyaybxaxazbzzFFlxyzFFFFFFFFqqqqqqr4）混合,,0alblaxaxazazaybyazbzzFFlxyzFFFFqqqqr（假定x方向滑动）2021/9/99经典的接触问题求解方法（3/3)接触区有限元方程：将定解条件代入，接触方程就成为定解问题。代入时可使用间接的接触单元法，也可直接代入。直接带入时的计算步骤KqF静力凝聚**CLCKqFF等效刚度接触区位移接触区载荷非接触区凝聚载荷接触方程！Trial-Error-Iteration过程：Step1，试求解（trial）：假定初始的接触状态，然后依此获得相应的定解条件，以得到新的边界条件并求解，同时得到接触力；Step2，计算误差（error）：若新得到的接触力与接触位移满足初始假定的接触状态，则为真解。否则转入Step3；Step3，迭代（iteration）：更新接触状态及相应的定解条件，转入Step1进行迭代。经验表明，接触迭代往往只有几步就可很快收敛，这种试验（trial）－误差（error）－迭代（iteration）的方法，又称为经典方法，由于归根到底求解的仍然是型方程。KUF注意：引入定解条件需考虑保持刚度矩阵的良好形态，一方面为了与所选求解器一致，一方面可适用于解决大型问题。2021/9/910数学规划方法求解接触问题（1/17)概述：接触问题的共有特征：接触状态（包括接触区的大小、压力分布、位移、变形等）分析前未知。数学规划解法：从数学角度，接触问题是一个优化问题，实际的接触状态就是该优化问题的最优解。迭代法：即试验－误差－迭代的格式。二维弹性体为研究对象，较系统地阐述接触问题的数学规划解法：接触问题的数学规划方法描述；无摩擦接触问题的数学规划方法；有刚体自由度的弹性接触问题；摩擦接触问题的数学规划方法。2021/9/911数学规划方法求解接触问题（2/17)接触问题的势能变分原理及其等价形式边界分为给定外力边界，位移边界以及可能发生接触的边界。1）力边界条件2）位移边界条件oniiuuuonijjitnt,ABA、B两物体上的可能接触区ABCnCACBCC构造公共接触区，使以后对接触区上所做的定义和运算都在上进行。确定的方法很多，在大变形讨论中会显示出各自的优劣。对于小变形问题，各种方法都很接近。确定后，随之可确定接触区的公共法线方向和切线方向。CCCCCnC2021/9/912数学规划方法求解接触问题（3/17)接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）接触问题的接触条件－非穿透性条件（non-penetrationcondition）0ABnnnnuugConA、B两物体在公法线方向的位移分量代表它们在法线方向的间隙!系统的总势能可表示为()()tiijiiiitVVuUdVfudVtudABVVVABttt11()22TijijijUD势能原理表述为这样一个命题（proposition）：在所有满足几何关系、位移边界条件及接触条件的位移场中，真实解使得系统的总势能取最小值。find,onmin()..0iiiiuinuHuuuust数学上称为单边（unilateral）约束条件！2021/9/913数学规划方法求解接触问题（4/17)接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）借助于拉氏乘子法，引入变位（dislocation）势2,,CinCud接触势部分剩余变量构造Lagrange泛函*,,(),,iiiuuu势能原理拉氏泛函的极大极小（鞍点）问题。等价下面予以证明14数学规划方法求解接触问题（5/17)接触问题的势能变分原理及其等价形式（续）*2,,()tCiijiiiitnCVVuUdVfudVtudd()0tCijnijiiiitiCVVijiUdVfudVtududu对宗量取变分iu,ABtCCijjiijjiVudnudV,0ijjifVinijjinttonnijjinuCon对宗量取变分20nCon对取变分，最后得泛函的库-塔克（Kuhn-Tucker）最优化条件0n00nicitnAConBConicitn或（B对A的法向作用力）（A对B的法向作用力）经一系列复杂的推导，可将拉氏乘子识别为（平衡方程）（力边界条件）（拉氏乘子？）（单边约束条件）2021/9/915数学规划方法求解接触问题（6/17)无摩擦接触问题的数学规划方法前面是积分意义上的一般原理，本节在离散意义上进行分析。11()22TTTTiAAAAABBBBBuqKqgqqKqgq系统势能离散成：接触势离散成：eTencdeeTTABTTeeerereceencNRMqqdNgd接触力插值函数接触区位移插值函数位移向法向的转换矩阵()TABTeeerereeeAqqh重新记做经组装TABTerrrreAqqh0ABrrAqqh相应地，非穿透性条件离散、组装成：2021/9/916数学规划方法求解接触问题（7/17)无摩擦接触问题的数学规划方法（续）这样，Lagrange函数离散成静力凝聚假定两物体均无刚体位移？*012TTTTAAABBBAABBTABTrrrqKqqKqgqgqgqqh0TrgA（略去了剩余变量的贡献）*12TTAAABBBrrrrrrrrTTAABBTABrrrrrrrqKqqKqgqgqAqqh接触问题的特征量是接触区的相对位移，而不是绝对位移！第二次凝聚*12TTTrKPAhABrrqq问题变成下列标准的二次规划问题1min2s.t.0TTKPAh设计变量2021/9/917数学规划方法求解接触问题（8/17)无摩擦接触问题的数学规划方法（续）*12TTTrKPAh引入松弛变量取变分0TrKPA1TrKAP假定正定wAh00,0rTririwaqww1TaAKA1q