黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟考试数学(理)

哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第I卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.集合031xxxP，24xyxQ，则QPA．]2,1(B．]2,1[C．(,3)(1,)D．)2,1[2.等差数列na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1B．35C．2D．33.在ABC中，3AB，1AC，30B，则ABC的面积为23，CA．30B．45C．60D．754.下列函数在),0(上为减函数的是A．1xyB．xeyC．)1ln(xyD．)2(xxy5.方程2log2xx的解所在的区间为A．)1,5.0(B．)5.1,1(C．)2,5.1(D．)5.2,2(6.将函数xxf2sin的图象向左平移8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则的一个可能取值为A．43B．4C．0D．47.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：①若m，Al，点mA，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，//l，//m，且ln，mn，则n；③若//l，//m，//，则ml//；④若l，m，Aml，//l，//m，则//，其中为真命题的是A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8.变量x、y满足条件1101xyyx，则22)2(yx的最小值为A．223B．5C．29D．59.如图，AOB为等腰直角三角形，1OA，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则OPAP的最小值为A．1B．81C．41D．2110.如图，四棱锥ABCDP中，90BADABC，ADBC2，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为A．90B．75C．60D．4511.已知抛物线C：xy82的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若QFPF3，则QF=AOCBPBDCPA24正视图4侧视图2俯视图A．25B．38C．3D．612.设函数)(xf在R上存在导数)(xf，Rx，有2)()(xxfxf，在),0(上xxf)(，若mmfmf48)()4(，则实数m的取值范围为A．]2,2[B．),2[C．),0[D．(,2][2,)哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.正项等比数列na中，42a，164a，则数列na的前9项和等于．14.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．15.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且321PFF，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则222131ee．16．定义：如果函数)(xfy在定义域内给定区间],[ba上存在0x)(0bxa，满足abafbfxf)()()(0，则称函数)(xfy是],[ba上的“平均值函数”，0x是它的一个均值点，例如2xy是]1,1[上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mxxxf3)(是]1,1[上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且)3sin()3sin()sin)(sinsin(sinBBBABA.（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若12ACAB，72a，求b，c（其中cb）．18.（本小题满分12分）已知数列}{na满足)(3)1)(1(11nnnnaaaa，21a，令11nnab.（Ⅰ）证明：数列}{nb是等差数列；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式．19.（本小题满分12分）ABC为等腰直角三角形，4BCAC，90ACB，D、E分别是边AC和AB的中点，现将ADE沿DE折起，使面ADE面DEBC，H、F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE、AF分别交于I、G两点．（Ⅰ）求证：IH//BC；（Ⅱ）求二面角CGIA的余弦值；（Ⅲ）求AG的长．20.（本小题满分12分）如图，抛物线1C：pxy22与椭圆2C：1121622yx在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB的面积为368.（Ⅰ）求抛物线1C的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交1C于C、D两点，射线OC、OD分别交2C于E、F两点，记OEF和OCD的面积分别为1S和2S，问是否存在直线l，使得77:3:21SS？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．OACBDyxEFAHICDBFGE21.（本小题满分12分）设函数bxxxaxf)1ln()1()(2)1(x，曲线)(xfy过点)1,1(2eee，且在点)0,0(处的切线方程为0y.（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当0x时，2)(xxf；（Ⅲ）若当0x时，2)(mxxf恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，41PBPA，21PCPD.（Ⅰ）求BCAD的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且1PA，求BC的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是242222tytx（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程)4cos(2.（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求yx的取值范围．PABCDO24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(xxxf.（Ⅰ）解不等式0)(xf；（Ⅱ）若存在实数x，使得axxf)(，求实数a的取值范围．哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ACCDBBCDBABB二、填空题：13.102214.8(225)15.416.3(3,]4三、解答题：17.解：(Ⅰ)BBBBBA22sin)sin21cos23()sin21cos23(sin43)sin(cos4322BB，23sinA，3A．…………………………6分(Ⅱ)12cosAbACAB，24bc，又bccbAbccba3)(cos22222，10cb，cb，4b，6c．…………………………12分18.解：(Ⅰ))1()1(3)1)(1(11nnnnaaaa，3111111nnaa，即311nnbb，nb是等差数列．………6分(Ⅱ)11b，3231nbn，…………………………10分231nan，25nnan．…………………………12分19.(Ⅰ)因为D、E分别是边AC和AB的中点，所以BCED//，因为BC平面BCH，ED平面BCH，所以//ED平面BCH因为ED平面BCH，ED平面AED，平面BCH平面HIAED所以HIED//又因为BCED//，所以IH//BC.……………………………………4分(Ⅱ)如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D，)0,0,2(E，)2,0,0(A，)0,1,3(F，)0,2,0(E，)1,0,0(H，)2,0,2(EA，)0,1,1(EF，)1,2,0(CH，)0,0,1(21DEHI，设平面AGI的一个法向量为),,(1111zyxn，则0011nEBnEA，001111yxzx，令11z，解得11x，11y，则)1,1,1(1n设平面CHI的一个法向量为),,(2222zyxn，则0022nHInCH，002221xzy，令22z，解得11y，则)2,1,0(2n15155321,cos21nn，所以二面角CGIA的余弦值为1515……………………………8分AHICDBFGEzyx（Ⅲ）法（一）)2,1,3(AF，设)2,,3(AFAG)12,,3()2,,3()1,0,0(AGAHGH则02nGH，解得32，3142)2(13323222AFAG…………………12分法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，HKJ与CKA相似，得2KJAK，易证GKHI//，所以314232AFAG……………12分20.解:(Ⅰ)因为OAB的面积为368,所以364By，……………2分代入椭圆方程得)364,34(B，抛物线的方程是：xy82……………4分(Ⅱ)存在直线l:0411yx符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为4xmy，与xy82联立得03282myy.设),(),,(2211yxDyxC,则32,82121yymyy12211sin21sin2EFOCODCODOCODyySSOEOFyyOEOFEOFFEyy32.……………6分由直线OC的斜率为1118yxy,故直线OC的方程为xyy18，与1121622yx联立得1)1211664(212yyE，同理1)1211664(222yyF，所以2Ey1)1211664)(1211664(22212yyyF………8分可得2Ey223625612148Fym要使37712SS，只需22232(12148)77362563m………10分即21214849121m解得11m，所以存在直线l:0411yx符合条件…………………………12分21.解：(Ⅰ)bxaxxaxf)1()1ln()1(2)(，0)0(baf，22(1)(1)(1)feaebeaee21ee1a，1b．………………………………4分(Ⅱ)xxxxf)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(xxxxxg，)0(x，xxxxg)1ln()1(2)((())2ln(1)10gxx，)(xg在,0上单调递增，0)0()(gxg，)(xg在,0上单调递增，0)0()(gxg．2)(xxf．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mxxxxxh，mxxxxxh2)1ln()1(2)(，(Ⅱ)中知)1()1ln()1(22xxxxxx，xxx)1ln()1(，mxxxh23)(，①当023m即23m时，0)(xh，)(xh在,0单调递增，0)0()(hxh，成立．②当03m即23m时，xmxxxh)21()1ln()1(2)(，mxxh23)1ln(2)(，令0)(xh，得012320mex，当0,0xx时，0)0()(hxh，)(xh在0,0x上