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因数和倍数的意义答案典题探究例1．一个数的倍数一定比这个数大．错误．（判断对错）分析：我们知道，一个数的最小倍数和最大因数都是它本身．解答：解：一个数的最小倍数和最大因数都是它本身，因此，答案错误故答案为：错误点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行解答．例2．因为3×5=15，所以3和5是因数．错误．分析：根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，因数离开倍数就不成立，倍数离开因数也不成立．由此解答．解答：解：3×5=15，3和5是15的因数，15是3和5的倍数；因为3×5=15，所以3和5是因数．这种说法是错误的．故答案为：错误．点评：此题主要考查因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的两个概念．不能单独地说某个数是因数，某个数是倍数．例3．a、b、c、d是不同的质数．甲数=cba，乙数=dcba，则B、DA．甲是乙的倍数B．乙是甲的倍数C．甲是乙的因数D．乙是甲的因数．考点：因数和倍数的意义．专题：数的整除．分析：根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．解答：解：根据题意，得乙数÷甲数=dcba÷cba=d≠1，所以乙是甲的倍数，甲是乙的因数．故答案为：B、D．点评：此题主要考查了学生对因数、倍数定义的理解以及判断一个数是另一个数的因数、倍数的方法．例4．a和b都是自然数，5a=b，所以b是a的倍数，a是b的因因数．考点：因数和倍数的意义．分析：根据因数和倍数的意义进行解答即可．解答：解：因为a和b都是自然数，5a=b，所以b是a的倍数，a是b的因数；故答案为：因数．点评：解答此题的关键：理解和掌握因数和倍数的意义．例5．甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的倍数．考点：因数和倍数的意义．分析：设甲、乙、丙分别为A、B、C．根据因数和倍数的意义可得A=xB；B=yC；故A=（xy）C，所以甲数是丙数的倍数．解答：解：设甲、乙、丙分别为A、B、C．因为甲数是乙数的倍数，则有A=xB；丙数是乙数的因数，则有B=yC；故A=（xy）C，所以甲数是丙数的倍数．故答案为：倍数．点评：考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲数和丙数之间的关系．例6．一个数的约数的个数是有限的．√（判断对错）考点：因数和倍数的意义．专题：数的整除．分析：一个数的约数最小是1，最大是它本身，约数的个数是有限的，由此解答即可．解答：解：一个数的约数的个数是有限的．因为约数最小是1，最大是它本身．故答案为：√．点评：此题考查约数的意义，一个数的约数的个数是有限的．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共17小题）1．（长沙县模拟）a是自然数，且a÷b=3，那么a（）b的倍数．A．一定是B．一定不是C．不一定是D．不能确定考点：因数和倍数的意义．分析：由此题可知，a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数，由此可判断此题．解答：解：a是自然数，且a÷b=3，b不一定是自然数，当b为自然数时，a一定是b的倍数，当b为非自然数时，a就不是b的倍数，如1÷=3，就不能说1是的倍数；故选：C．点评：此题是考察因数和倍数的意义，不要忽略了在研究因数和倍数时，我们所说的数是非0的自然数这一点．2．（重庆）2×3×6=36，2、3、6这三个数都是36的（）A．倍数B．质因数C．公约数D．约数考点：因数和倍数的意义；因数、公因数和最大公因数．分析：因为2×3×6=36，说明2、3和6是36的因数，只有2和3是质数，所以2和3是36的质因数，但6不是质数，是合数，由此选出答案即可．解答：解：因为2×3×6=36，所以2、3、6是36的因数（约数）；故选：D．点评：此题主要考查质因数与因数的区别：是一个数的因数，如果都是质数，这样的数就是这个数的质因数，注意一个数的因数可以有1．3．（德阳模拟）1、3、7都是21的（）A．质因数B．公约数C．奇数D．约数考点：因数和倍数的意义．分析：1既不是质数也不是合数，所以排除了A是质因数的答案；公约数是两个以上的数才有公约数，一个数没有公约数，排除了B是公约数的答案；在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法，排除了C答案；根据约数的意义，1，3，7都是21的约数，据此解答．解答：解：A：1既不是质数也不是合数，所以1不是21的质因数；B：21是一个数，所以不能说1、3、7都是21的公约数；C：在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法；D：1，3，7都是21的约数；故选：D．点评：本题主要考查质因数、约数、公约数、奇数的意义．4．（泗县模拟）已知a能整除23，那么a是（）A．46B．23C．1和23考点：因数和倍数的意义．分析：（1）整除的意义：整数a除以整数b（b≠0），得到的商是整数，而没有余数，就说整数a能被整数b整除，也可以说整数b能整除整数a，据此概念进行判断并选择即可．（2）也可以直接找23的因数，23的因数有1和23，就说明整数23能被整数1和23整除，也可以说整数1和23能整除整数23，由此进行判断并选择．解答：解：23的因数有：1和23，说明整数23能被整数1和23整除，也可以说整数1和23能整除整数23，故选：C．点评：此题考查整除的概念：必须是整数除以不为0的整数，商是整数而没有余数．5．（武山县）a，b和c是三个非零自然数，在a=b×c中，能够成立的说法是（）A．b和c是互质数B．b和c都是a的质因数C．b和c都是a的约数D．b一定是的倍数考点：因数和倍数的意义；合数与质数．专题：压轴题．分析：根据因数和倍数的关系：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．解答：解：根据因数和倍数的关系，因为a=b×c，所以a是b、c的倍数，b、c是a的约数（因数）；故选：C．点评：此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．6．（新泰市）1、3、5都是15的（）A．公因数B．因数C．奇数考点：因数和倍数的意义．分析：根据因数与倍数的意义，15的因数有：1、3、5、15，由此可知，1、3、5都是15的因数；15只是一个数它没有公因数；1、3、5是奇数，但不能说是15的奇数，在数学上没有几个数叫做一个数的奇数的说法．解答：解：根据因数与倍数的意义，1、3、5、都是15的因数；故选：B．点评：本题主要考查公因数、因数、奇数的意义．7．（湛河区）a、b和c是三个自然数，在a=b×c中，不一定成立的是（）A．a一定是b的倍数B．a一定能被b整除C．a一定是b和c的最小公倍数D．b一定是a的约数考点：因数和倍数的意义；公倍数和最小公倍数．专题：压轴题．分析：逐项进行分析，选出不一定成立的一项即可．解答：解：A、因为a=b×c，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a=b×c，所以a÷b=c，a一定能被b整除，正确；C、a=b×c，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；D、a=b×c，所以a÷b=c，b一定是a的约数．故选：C．点评：此题主要考查整除、约数、倍数、最小公倍数的意义，用它们来解决问题．8．（定兴县）一个数既是12的约数，又是12的倍数，这个数是（）A．3B．12C．24考点：因数和倍数的意义．分析：一个数是12的约数，这个数最小是1，最大是12；又是12的倍数，这个数最小是12，据此两点即可得答案．解答：解：因为：一个数是12的约数，可知这个数最小是1，最大是12；又是12的倍数，可知这个数最小是12．所以：．这个数是12．故选B．点评：此题主要考查了因数和倍数的意义及其求法．9．（静宁县）一个合数至少有（）个约数．A．1B．2C．3考点：因数和倍数的意义；合数与质数．分析：根据合数的概念即可解答．解答：解：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此一个合数至少有3个约数．答：一个合数至少有3个约数．故选C．点评：此题考查的目的是理解和掌握合数的概念和内涵，据此解决有关的问题．10．在60=12×5中，12和5是60的（）A．倍数B．偶数C．质数D．因数考点：因数和倍数的意义．分析：由于60=12×5，即60÷12=5，根据因数和倍数的意义可知12和5是60的因数．解答：解：因为60=12×5，即60÷12=5，所以12和5是60的因数．故选：D．点评：考查了因数和倍数的意义，在除法里，A÷B=C，这里的A、B、C都必须是整数（B不能为0），A就是B和C的倍数，B和C就是A的因数．11．一个自然数可以写成两个不同质数相乘的积，这个数的约数共有（）个．A．2B．3C．4考点：因数和倍数的意义．分析：采用特殊值法，如：21=3×7；21的约数有1、3、7、21共4个．解答：解：采用特殊值法，如：21=3×7；21的约数有1、3、7、21共4个．再如：35=5×7；35的约数有1、5、7、35共4个．这个数的约数有1、两个质数的乘积、两个质数共4个．故答案为：C．点评：特殊值法、排除法、代入法等都是解决选择题的有效方法．12．如果a÷b=12，那么（）A．b一定是a的约数B．b可能是a的约数C．a可能整除bD．b一定是a的倍数考点：因数和倍数的意义．分析：因为a÷b=12，所以a一定是b的倍数，但a、b不一定都是整数，如：18÷1.5=12，b就不是a的约数，当a、b都是整数时，b就一定是a的约数；进而得出结论．解答：解：由分析得：当a、b都是整数时，b就一定是a的约数；当a、b不是整数时，b就不是a的约数；故选：B．点评：解答此题应结合题意，根据约数的意义进行分析即可．13．甲数×3=乙数，（甲、乙是非0自然数），乙数是甲数的（）A．倍数B．因数C．自然数考点：因数和倍数的意义．分析：根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可．解答：解：甲数×3=乙数，所以乙数÷甲数=3，即甲数是乙数的因数，乙数是甲数的倍数；故选：A．点评：此题考查了因数和倍数的意义．14．如果“24→2”表示2是24的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（）A．B．C．考点：因数和倍数的意义．分析：根据因数和倍数的意义，并结合题意，解答即可．解答：解：24→2表示2是24的因数，因为本题中2是24的因数，所以可以用24→2表示，2是48的因数，可以用48→2表示，24是48的因数，可以用48→24表示，结合答案，只有B符合；故选：B．点评：此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答．15．一个合数的因数有（）个．A．2B．3C．至少3D．无数考点：因数和倍数的意义．分析：根据合数的意义直接作答，合数是指除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就是合数．解答：解：除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数就是合数，所以一个合数的因数至少有3个．故选：C．点评：此题考查对合数意义的理解，一个合数的因数至少有3个．16．下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数．（）A．36和9B．210和70C．0.2和100D．30和60考点：因数和倍数的意义．专题：数的整除．分析：依据因数和倍数的意义，看每个选项中，第二个数是第一个数的因数，还是倍数，进行解答即可．解答：解：A，9是36的因数；B，70是210的因数；C，因为0.2是小数，所以不存在因数和倍数的关系；D，60是30的倍数；故选：D．点评：解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可．17．用a表示一个非0自然数，a2必定是（）A．奇数B．质数C．合数D．约数的个数为奇数考点：因数和倍数的意义；奇数与偶数的初步认识；合数与质数．分析：首先要明确奇数、偶数、质数、合数的意义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；再确定当a≠0时，a2必定是什么数，可以举几个例子进一步验证，如12=1，约数只有1一个；22=4，约数有1、2、4三个；32=9，约