坐标系与参数方程

行胜于言1专题能力训练23坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.(2015福建高考)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为{𝑥=1+3cos𝑡,𝑦=-2+3sin𝑡(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为√2ρsin(𝜃-π4)=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.已知动点P,Q都在曲线C:{𝑥=2cos𝑡,𝑦=2sin𝑡(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0α2π),M为PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.3.(2015河南商丘二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为ρsin(𝜃-π6)=12,曲线C的参数方程为{𝑥=2+2cos𝛼,𝑦=2sin𝛼(α为参数).(1)写出直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.4.已知曲线C:𝑥24+𝑦29=1,直线l:{𝑥=2+𝑡,𝑦=2-2𝑡(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.行胜于言25.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a0),l:ρcos(𝜃-π3)=32,C与l有且只有一个公共点.(1)求a;(2)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=π3,求|OA|+|OB|的最大值.6.(2015中原名校联盟模拟)在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acosθ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为{𝑥=3𝑡+1,𝑦=4𝑡+3(t为参数).(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.7.(2015吉林第三次调研)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-cosθ=0,点M(1,π2).以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.行胜于言3思维提升训练8.(2015陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{𝑥=3+12𝑡,𝑦=√32𝑡(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2√3sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.9.已知直线l的参数方程为{𝑥=1+√2𝑡,𝑦=√2𝑡(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=sin𝜃1-sin2𝜃.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.10.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{𝑥=√3cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(𝜃+π4)=4√2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.行胜于言4参考答案能力突破训练1.解:(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin(𝜃-π4)=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+𝑚|√2=2,解得m=-3±2√2.2.解:(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为{𝑥=cos𝛼+cos2𝛼,𝑦=sin𝛼+sin2𝛼(α为参数,0α2π).(2)点M到坐标原点的距离d=√𝑥2+𝑦2=√2+2cos𝛼(0α2π).当α=π时,d=0,故点M的轨迹过坐标原点.3.解:(1)∵ρsin(𝜃-π6)=12,∴ρ(√32sin𝜃-12cos𝜃)=12,∴√32y-12x=12,即l:x-√3y+1=0.(2)曲线C上的点的坐标为(2+2cosα,2sinα),∴曲线C上的点到直线l的距离d=|2+2cos𝛼-2√3sin𝛼+1|2=|4cos(𝛼+π3)+3|2≤72.故最大距离为72.4.解:(1)曲线C的参数方程为{𝑥=2cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=√55|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=𝑑sin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55.5.解:(1)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,l的直角坐标方程为x+√3y-3=0.由直线l与圆C相切可得|𝑎-3|2=a,解得a=1.(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+π3,行胜于言5则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(𝜃+π3)=3cosθ-√3sinθ=2√3cos(𝜃+π6),当θ=-π6时,|OA|+|OB|取得最大值2√3.6.解:(1)由{𝑥=3𝑡+1,𝑦=4𝑡+3得{𝑥-13=𝑡,𝑦-34=𝑡,𝑥-13=𝑦-34,故直线l的普通方程为4x-3y+5=0.由ρ=2acosθ,得ρ2=2aρcosθ.又ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,故圆C的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2.(2)因为直线l与圆C恒有公共点,所以|4𝑎+5|√42+(-3)2≤|a|,两边平方得9a2-40a-25≥0,所以(9a+5)(a-5)≥0,故实数a的取值范围是a≤-59或a≥5.7.解:(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为3π4,故直线l的参数方程为{𝑥=𝑡cos3π4,𝑦=1+𝑡sin3π4(t为参数),即{𝑥=-√22𝑡,𝑦=1+√22𝑡(t为参数).(2)把直线l的参数方程{𝑥=-√22𝑡,𝑦=1+√22𝑡(t为参数)代入曲线C的方程得(1+√22𝑡)2=-√22t,即t2+3√2t+2=0,Δ=(3√2)2-4×2=100.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则{𝑡1+𝑡2=-3√2,𝑡1·𝑡2=2.又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.思维提升训练8.解:(1)由ρ=2√3sinθ,得ρ2=2√3ρsinθ,从而有x2+y2=2√3y,所以x2+(y-√3)2=3.(2)设P(3+12𝑡,√32𝑡),又C(0,√3),则|PC|=√(3+12𝑡)2+(√32𝑡-√3)2=√𝑡2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).行胜于言69.解:(1)由{𝑥=1+√2𝑡,𝑦=√2𝑡,得x-y=1,故直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即√2𝜌(cos𝜃cosπ4-sin𝜃sinπ4)=1,即√2ρcos(𝜃+π4)=1.∵ρ=sin𝜃1-sin2𝜃,∴ρ=sin𝜃cos2𝜃,∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x0,y0),y0=𝑥02,则P到直线l的距离d=|𝑥0-𝑦0-1|√2=|𝑥0-𝑥02-1|√2=|-(𝑥0-12)2-34|√2=(𝑥0-12)2+34√2.∴当x0=12时,dmin=3√28,此时P(12,14).∴当点P的坐标为(12,14)时,P到直线l的距离最小,最小值为3√28.10.解:(1)由曲线C1:{𝑥=√3cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数),得{𝑥√3=cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数),两式两边平方相加,得(𝑥√3)2+y2=1,即曲线C1的普通方程为𝑥23+y2=1.由曲线C2:ρsin(𝜃+π4)=4√2,得√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x+y-8=0的距离d=|√3cos𝛼+sin𝛼-8|√2=|2sin(𝛼+π3)-8|√2,所以当sin(𝛼+π3)=1时,d的最小值为3√2,此时点P的坐标为(32,12).