数学模拟试题二

绝密★启用前数学模拟试题二本试卷共150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.集合RxxyyM,|2，RxxyyN,2|2，则NM(D)A.B.)1,1(),1,1(C.1,1D2,02.函数1()xyexR的反函数是（D）A．1ln(0)yxxB．1ln(0)yxxC．1ln(0)yxxD．1ln(0)yxx3.曲线12xxy在点)1,1(处的切线方程为（B）A.02yxB.02yxC.054yxD.054yx4.不等式021xx的解集为（B）A、[1,2]B、[1,2)C、),2[]1,(D、),2(]1,(5.设2.0331)31(,4log,2logcba，则（B）A.cbaB.bcaC.acbD.bac6.定义运算bcaddcba，则符合条件01121iiiz的复数z为（C）A．i2;B．i2;C．i2;D．i2.解析：iiz13。7.曲线xy1与直线1x,4x及x轴所围成的区域的面积是（C）A.43B.2lnC.2ln2D.12ln8.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A）（A）27（B）38（C）37（D）928解析：561638331523CCCCp。9.在ABC中，已知BACsinsincos2,则ABC的形状为（C）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形10.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca，则||c的最大值是（C）A.1B.2C.2D.2211.在三棱锥ABCP中，3PCPBPA,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积(D)A．B.3C.4D.4312.若2)143(lim2baxxxxx，则实数ba,的值分别是（B）A.-1,0B.1,0C.1,21D.0,21二．填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。13.在空间直角坐标系xyzO中，若平面03zymx与平面02mzyx相互垂直，则m的值为__________.答案：m=`114、若nxx)13(的展开式中各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于_______.答案：6。15、若多项式)(xf满足2)1(f,3)2(f,则)(xf被22xx除所得的余式为____________.答案：3731x。16.把极坐标方程21cos2sin2化为普通方程是_____________.答案：02322xyx17.已知抛物线2:4Cyx，点(,0)Pm，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得90OQP?o，则实数m的取值范围是。(4,)+?18.已知函数()fx满足(1)()fxfx，且()fx是偶函数，当[0,1]x时，2()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是答案：410k【解析】由)()1(xfxf得，)()2(xfxf，所以函数)(xf为周期为2的周期函数，又因为函数)(xf为偶函数，有)()()1(xfxfxf，所以有)1()1(xfxf，所以函数)(xf关于1x对称，令0)1()()(xkxfxg，得函数)1()(xkxf，令函数)1(xky，做出函数)(xf和函数)1(xky的图象，如图：当直线)1(xky必须过点)1,3(C时有4个交点，此时直线)1(xky的斜率为41)1(301k，要使函数)1()()(xkxfxg有四个零点，则直线的斜率410k.三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19.已知数列na的首项31a,通项na与前n项和nS之间满足)2(21nSSannn。(1)求证:nS1是等差数列,并求公差；(2)求数列na的通项公式.解析：（1）1nnnSSa，代入，除1nnSS得21111nnSS。（2）6351nSn，nSn356。1nnnSSa得)83)(53(18nnan2n。2,)83(503(181,3nnnnan.20.已知函数)43sin()(xxf．(1)求)(xf的单调递增区间；(2)若是第二象限角，2cos)4cos(54)3(f，求sincos的值．解(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos2α－sin2α)，所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45(cosαcosπ4－sinαsinπ4)·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.21.如图,已知点)0,11(A,函数1xy的图象上的动点P在x轴上的射影为H,且点H在点A的左侧,设tPH||,APH的面积为)(tf.(1)求函数)(tf的解析式及t的取值范围;(2)若)32,0(a,求函数)(tf在a,0上的最大值.解:(1)由已知可得=t,所以点P的横坐标为t2-1,因为点H在点A的左侧,所以t2-111,即-2t2.由已知t0,所以0t2,所以AH=11-(t2-1)=12-t2,所以△APH的面积为f(t)=(12-t2)t,t∈(0,2).(2)f′(t)=6-t2=-(t+2)(t-2),由f′(t)=0,得t=-2(舍),或t=2.函数f(t)与f′(t)在定义域上的情况如表:t(0,2)2(2,2)f′(t)+0-f(t)↗极大值↘当0a≤2时,f(t)在(0,a]上单调递增,所以f(t)max=f(a)=-a3+6a,当2a2时,f(t)在(0,2]上单调递增,(2,a]上单调递减,f(t)max=f(2)=8.综上f(t)max=22、已知椭圆)0(1:22221babyaxC的离心率为33，直线2:xyl与以原点为圆心、以椭圆1C的短半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆1C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆1C的左、右焦点分别为21,FF,直线1l过点1F且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直1l于点P，线段2PF的垂直平分线交2l于点M，求点M的轨迹2C的方程；（Ⅲ）设曲线2C与x轴交于点Q，不同的两点R,S在2C上，且满足0RSQR,求||SQ的取值范围.答案：（1）12322yx（2）xy42（3）（3）),58[||QS.