高考数学解题方法

Gothedistance1高考数学解题方法在昔书院，俱有学规，所以示学者立心之本，用力之要。言下便可持循，终身以为轨范。非如法令科条之为用，止于制裁而已。乃所以弼成其德，使迁善改过而不自知。乐循而安处，非特免于形著之过，将令身心调熟，性德自昭，更无走作。编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。目录高考数学解题方法......................................................................................................1解析几何运算优化——双根法...................................................................................2平面向量解题技巧......................................................................................................3ALG不等式解高考导数压轴题...............................................................................5拉格朗日乘数法解高考多元最值问题.......................................................................6利用斜坐标系求解向量问题......................................................................................7复合函数问题..............................................................................................................9抛物线的切线问题....................................................................................................11洛必达法则解导数压轴题........................................................................................12Gothedistance2解析几何运算优化——双根法二次函数2(0)yaxbxca可表示为两根式12()()yaxxxx(0)a，其中12,xx是方程20axbxc的两根．【例题1】（2012重庆）如图，设椭圆的中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为12,FF，线段12,OFOF的中点分别为12,BB，且12ABB是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B作直线l交椭圆于,PQ两点，使22PBQB，求直线l的方程．【变式1】（2013上海春季）已知椭圆C的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，短轴的两个端点分别为12,BB．（Ⅰ）若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与C相交于,PQ两点，且11FPFQ，求直线l的方程．【例题2】（2014辽宁）圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．双曲线22122:1xyCab过点P且离心率为3．（Ⅰ）求1C的方程；（Ⅱ）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点与2C交于,AB两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．Gothedistance3【变式2】（2015福建）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)，且离心率为22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线1()xmymR交椭圆E于,AB两点，判断点9(,0)4G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．平面向量解题技巧向量是既有大小又有方向的量，其本质揭示了向量具有“数”和“形”的双重特征．从代数角度看，由于借助数量积公式可以将向量问题实数化，所以向量问题可利用数的性质加以处理；从几何的角度看，由于向量的模、向量的线性运算，向量的平行与垂直等都具有明显几何意义，所有向量可以利用数形结合的思想加以处理．结论1：若,,ABC三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在R，使得(1)PCPAPB．（这里向量,PAPB前的系数之和为1）特殊情况1：若点C为线段AB的中点，则1()2PCPAPB．特殊情况2：若点C在线段AB上，,ACmCBn，则nmPCPAPBmnmn．【例题1】已知等差数列{}na的前n项和为nS．若1200OBaOAaOC，且,,ABC三点共线（该直线不过点O），则200S．【变式1】Gothedistance4（1）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则．（2）ABC中，点D在AB上，CD平分ACB，若,CBaCAb，||1a，||2b，则CD（）12.33Aab21.33Bab34.55Cab43.55Dab（3）在平行四边形ABCD中，,EF分别是边,CDBC的中点，若ACAEAF(,)R，则．结论2：在ABC中，若D为BC的中点，则21||||4ABACADCB．【例题2】在RtABC中，2,,CACBMN是斜边AB上两个动点，且2MN，则CMCN的最小值为．【变式2】（1）在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC，则ABAC．（2）如图，已知ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则PCPD的取值范围是．（3）已知点P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD的底面1111ABCD上一点（P仅在正方形1111ABCD内及其边界上运动），则PAPC的取值范围是．．．．．．．Gothedistance5ALG不等式解高考导数压轴题一．ALG不等式记12211221,,2lnlnxxxxALGxxxx，则,,ALG分别为正数12,xx的算术平均数、对数平均数、几何平均数．对数形式的ALG不等式：122112212lnlnxxxxxxxx．指数形式的ALG不等式：122112lnlnlnlnlnln212lnlnxxxxxxeeeeeexx，也即是2()2abbabaeeeeeabba．二．典例精析【例题1】（1）（2015重庆巴蜀中学）已知函数()xfxeax有两个零点12xx，则下列说法错误的是（）.Aae12.2Bxx12.1Cxx.D有极小值点0x，且1202xxx（2）（2012辽宁）设()ln(1)1fxxxaxb（,abR，,ab是常数），曲线()yfx与直线32yx在(0,0)点相切．（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）证明：当02x时，9()6xfxx．【变式1】（1）（2014天津）设函数()(),xfxxaeaRxR．已知函数()yfx有两个零点12,xx，且12xx．求证：12122,01xxxx．（2）（2010课标）设函数2()1xfxexax．若当0x时，()0fx，求a的取值范围．Gothedistance6（3）（2013大纲）已知函数(1)()ln(1)1xxfxxx．若0x时，()0fx，求的最小值．拉格朗日乘数法解高考多元最值问题一．拉格朗日乘数法求在约束条件(,,)0(,,)0GxyzHxyz下，目标函数(,,)fxyz的极值，构造拉格朗日函数：(,,)(,,)(,,)(,,)LxyzfxyzGxyzHxyz，可由000(,,)0(,,)0xyzLLLGxyzHxyz，解得(,,)xyz为可能的极值点．其中,称为拉格朗日乘数，,,xyzLLL分别为以,,xyz为主元的导数．特殊情况：求在约束条件(,,)0Fxyz下(,,)fxyz的最值，只需构造拉格朗日函数(,,)(,,)(,,)LxyzfxyzFxyz即可．二．典例精析【例题1】（2011浙江）已知2241xyxy，则2xy的最大值为．【变式1】（1）已知,xyR，且223xxyy，则22xxyy的最大值和最小值分别为．（2）（2014辽宁）对于0c，当非零实数,ab满足224240aabbc且使|2|ab最大时，345abc的最小值为．【例题2】（2013湖南）设,,abcR，且满足236abc，则22249abc的最小值为．【变式2】Gothedistance7（2014浙江）已知实数,,abc满足2220,1abcabc，则a的最大值是．利用斜坐标系求解向量问题如图，以平面内任意两个不共线的向量,OAOB所在的直线为,xy轴，建立斜坐标系xOy，O为坐标原点，由平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量OP，存在唯一的有序实数对(,)xy，使得OPxOAyOB．我们把有序实数对(,)xy定义为向量OP在基底,OAOB下的坐标，即(,)Pxy．性质1：点,,OAB在斜坐标系xOy下的坐标分别为(0,0),(1,0),(0,1)．性质2（定比分点）：如图，在斜坐标系xOy中，已知1122(,),(,)MxyNxy，点(,)Pxy在直线MN上，且满足MPPN，则1212,11xxyyxy．性质3：设直线l与,xy轴分别交于(,0),(0,)MmNn两点，则l的截距式方程为1xymn（其中,mn分别为l在,xy轴上的截距，0mn）．性质4：与直线:1xylmn平行的直线方程为xykmn（k为参数）．性质5：过原点设O及定点000(,)(0)Qxyx的直线方程为00yyxx．性质6：设直线:1xylmn，若点(,)Pxy与原点O在直线l同侧，则1xymn；Gothedistance8若点(,)Pxy与原点O在直线l异侧，则1xymn．性质7：设点,MN关于原点O的对称点分别为'',MN，则点(,)Pxy在平行四边形''MNMN区域内的充要条件是||||1xymn，点(,)Pxy在平行四边形''MNMN区域外的充要条件是||||1xymn．【例题1】（2013安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，,AB满足||||OAOB2OAOB，则点集{|,||||1,,}POPOAOBR所表示的区域面积是（）.22A.23B.42C.43D【变式1】（1）（2007江西）如图，在ABC中，O是BC中点，过点O的直线分别交直线,ABAC于,MN两点，若,ABmAMACnAN，则mn．（2）如图，在ABC中，点,DE分别在,ABBC上，满足2,ADDBBE2EC．设,PAECDAPABAC，则(,)（）24.(,)77A12.(,)77B11.(,)42C48.(,)1515D【例题2】（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量,OAOB，它们的夹角为120，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值是．Gothedistance9【变式2】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，3OD，点P为BCD内（含边界）的动点，设(,)OPOCODR，则z的最大值为．复合函数