简单的线性规划第一课时教案

第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划3.3.2简单的线性规划一、学习目标1．知识与技能(1)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；（重点）(2)了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.（难点）(3)会从实际情景中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决.（难点）2.过程与方法提高学生提出、分析和解决问题的能力，发展学生数学应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断．3.情感、态度与价值观体会数形结合、等价转化等数学思想，逐步认识数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心．二．重点难点重点：理解和用好图解法；难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解．三．专家建议图解法求线性目标函数的最值时，由于关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图一定要准确；其次要弄清z的含义，z总是与直线的纵截距有关；平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以确定最优解．2．解决非线性目标函数问题时，要首先考虑目标函数的几何意义，再结合图形解决．3．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．四．教学方法自学----练习---点拨-巩固训练五．教学过程●复习回顾二元一次不等式（组）表示平面区域的步骤：(1)“直线定界”.作直线Ax+By+C=0；(2)“特殊点定域”.利用特殊点代入,确定不等式表示的区域是直线的哪一侧；(3)用阴影表示平面区域.注意判断是否画成实线.●新知探究探究点1：求最值某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料.生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg;生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A种原料1200kg,B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？解：依题意可列表如下：产品原料A数量(kg)原料B数量(kg)利润(元)生产甲种产品1工时3130生产乙种产品1工时2240限额数量1200800设计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，则获得利润总额为f=30x+40y.①于是问题转化为，在x,y满足条件②的情况下，求式子30x+40y的最大值.画出不等式组②表示的平面区域OABC（阴影部分）其中x,y满足下列条件：3x+2y≤1200x+2y≤800　　　　　　　　　　　x≥0y≥0②问题转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标带入式子30x+40y时，使该式取最大值.l0作直线:30x+40y=0，ll0作一组与直线平行的直线:30x+40y=z，直线l越往右平移,z随之越大。解方程组3x2y1200,x2y800得点B坐标（200,300），由图易知，以经过点B(200,300)的直线所对应的z值最大;答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18000元，此时利润总额最大。探究点2：简单线性规划的相关概念由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件，如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件.目标函数：要求最大值或最小值的函数线性目标函数：如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解.一般地，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.想一想：例如在上述问题中：解：（1）作出可行域（如图阴影部分）.令0z，作直线:230lxy当把直线l向下平移时，所对应的23zxy的函数值随之减小，所以，当直线l经过可行域的顶点B时，23zxy取得最小值.顶点D为直线4312xy与直线4336xy的交点，解方程组4312,4336.xyxy可以求得顶点D的坐标为3,8．此时，顶点Ｂ3,4和顶点D3,8为最优解．所以minmax2(3)3(4)18,233830.zz（2）作出可行域（如图阴影部分）.令0z，作直线0:430lxy.把直线l0向下平移时，所对应的z=-4x+3y的函数值随之减小，即z=-4x+3y-24的函数值随之减小。所以，当直线l0经过可行域的顶点Ｃ时，z=-4x+3y取得最小值，即z=-4x+3y-24取得最小值.顶点C为直线4336xy与直线4y的交点，解方程组4,4336.yxy可以求得顶点C的坐标为12,4．代入目标函数z=-4x+3y-24,得min4123(4)2484z.前面我们讨论了目标函数中y的系数大于0的情况，现在我们讨论y的系数小于0的情况.解：当4,2,0,1,3z时，可得到一组平行线21012:34;:32;:30;:31;:33.lxylxylxylxylxy由图可知，当直线0l向上平移时，所对应的z随之减小，当直线0l向下平移时，所对应的z随之增大.作出可行域可知，3zxy随直线0:30lxy向上平移而减小，随0l向下平移而增大，所以，在顶点B取得最小值，在点A取得最大值.顶点B为直线24xy与直线20x的交点，解方程组24,20.xyx可求出顶点B的坐标为2,3,代入目标函数，即可得最小值min3239.z顶点A为直线24xy与直线1xy的交点，解方程组24,1.xyxy得到顶点A的坐标为2,1,代入目标函数，即可得最大值max3215.z总结：解线性规划题目的一般步骤1.画：画出线性约束条件所表示的可行域；2.移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；3.求：通过解方程组求出最优解；4.答：得出答案.例3.A,B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加，已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务.如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排A,B两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？解：设A,B两区参与活动的人数分别为x,y，受到服务的老人的人数为z,则z=5x+3y.应满足的约束条件是化简得作直线lo:5x+3y=0平移直线l0至点M时，此时z取得最大值.解方程组得点M（4,5）.因此，当x=4,y=5时，z取得最大值，并且zmax=5×4+3×5=35.答：A,B两区参与活动同学的人数分别为4,5时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.小结：本题是整数线性规划问题，整数线性规划问题的可行域是由满足不等式组的整点(横、纵坐标均为整数的点)组成的集合，所求的最优解必须是整数解.在可行域内找出最优线性规划整数解问题的一般方法：1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止.3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网格、找整点、平移直线、找出整数最优解.根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图阴影部分所示的整点.●课堂总结1.理解简单的线性规划问题.2.求简单的线性规划问题的最优解.3.用图解法解线性规划问题的一般步骤．简单的线性规划七．当堂检测学习目标(1)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；（重点）(2)了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.（难点）(3)会从实际情景中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决.（难点）注意事项：12．3．4.典例分析例1例2例3例4学生练习小结：作业当堂检测反馈2.(2013·四川高考)若变量x,y满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是()A.48B.30C.24D.164.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设x,y满足约束条件1310xxy则z=2x-y的最大值为.5．已知xy20xy402xy50.求z＝x＋2y－4的最大值.6.(2013·湖北高考)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元【答案】1.D2.C3.【1,3】4.D5.解析：作出可行域如右图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－40，将C(7,9)代入z得最大值为21.6.C