对数与对数函数

Gothedistance第八节对数与对数函数[知识能否忆起]1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①loga1＝0.②logaa＝1.③对数恒等式：alogaN＝N.④换底公式：logab＝logcblogca.推广logab＝1logba，logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法则：如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.2．对数函数的概念(1)把y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)函数y＝logax(a0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a0，a≠1)的图象关于y＝x对称．3．对数函数的图象与性质Gothedistancey＝logaxa10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A＝{y|y＝log2x，x1}，B＝y|y＝12x，0x1，则A∩B为()A.0，12B.12，＋∞C.12，1D．(0,2)解析：选C∵A＝{y|y0}，B＝y|12y1，∴A∩B＝y|12y1.2．函数y＝loga(3x－2)(a0，a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A.0，23B.23，0C．(1,0)D．(0,1)解析：选C当x＝1时y＝0.3．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选By＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4．(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．Gothedistance解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6]．答案：(0，6]5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2lg10＝2.答案：21.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a1且b1，或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1，或0a1且b1时，logab0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．对数式的化简与求值典题导入[例1]求解下列各题．(1)12lg3249－43lg8＋lg245＝________；(2)若2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.[自主解答](1)12lg3249－43lg8＋lg245＝12×(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(lg5＋2lg7)Gothedistance＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12.(2)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10.∵1a＋1b＝2，∴logm10＝2，即m2＝10.解得m＝10(∵m0)．[答案](1)12(2)10由题悟法对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．以题试法1．化简：(1)lg37＋lg70－lg3－lg23－lg9＋1；(2)lg4－lg60lg3＋lg53－45×2－11.解：(1)原式＝lg37×703－lg23－2lg3＋1＝lg10－lg3－12＝1－|lg3－1|＝lg3.(2)原式＝lg4－lg4＋lg15lg153－210×2－11＝－lg15lg153－2－1＝－32.Gothedistance对数函数的图象及应用典题导入[例2](1)(2012·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为()(2)(2012·新课标全国卷)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)[自主解答](1)由1－x0，知x1，排除选项A、B；设t＝1－x(x1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.(2)法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，f12g12，即2loga12，则a22，所以a的取值范围为22，1.法二：∵0x≤12，∴14x≤2，∴logax4x1，∴0a1，排除选项C，D；取a＝12，x＝12，则有412＝2，log1212＝1，显然4xlogax不成立，排除选项A.[答案](1)C(2)B若本例(2)变为：若不等式(x－1)2logax在x∈(1,2)内恒成立，实数a的取值范围为________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当0a1时，显然不成立；当a1时，如图，要使x∈(1,2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1.所以1a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．Gothedistance答案：(1,2]由题悟法1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．以题试法2．已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则y＝f(1－x)的大致图象是()解析：选C由题意可得f(1－x)＝31－x，x≥0，log131－x，x0，因此当x≥0时，y＝f(1－x)为减函数，且y0；当x0时，y＝f(1－x)为增函数，且y0.对数函数的性质及应用典题导入[例3]已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．[自主解答](1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋30对任意x∈R恒成立．显然a＝0时不合题意，从而必有a0，Δ0，即a0，4－12a0，解得a13.即a的取值范围是13，＋∞.(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，Gothedistance这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋30得－1x3，即函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有a0，3a－1a＝1，解得a＝12.故存在实数a＝12使f(x)的最小值为0.由题悟法研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a0，且a≠1)．以题试法3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．解：(1)由ax－10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x0.∴当a1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0a1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，故0ax1－1ax2－1，∴loga(ax1－1)loga(ax2－1)．∴f(x1)f(x2)．故当a1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0a1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．Gothedistance[典例](2012·大纲全国卷)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x[巧思妙解]因为lnπ＞lne＝1，log52＜log55＝1，所以x＞y.故排除A、B；又因为log52＜log55＝12，e－12＝1e＞12，所以z＞y.故排除C.[答案]D——————[高手支招]———————————————————————————本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x1,0y1，0z1，再进一步比较y、z的大小，其中对数logaN的符号判定可简记为“同正异负”，即a与N同时大于1或同时大于0小于1，则logaN0；反之，logaN0.——————————————————————————————————————针对训练1．(2012·北京东城区综合练习)设a＝log123，b＝130.3，c＝lnπ，则()A．abcB．acbC．cabD．bac解析：选Aa＝log123log121＝0,0b＝130.3130＝1，c＝lnπlne＝1，故abc.2．设a＝320.1，b＝lnsin2012π3，c＝log1312，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bcaGothedistance解析：选B因为函数y＝32x为增函数，所以a＝320.1320＝1；因为sin2012π3＝sin670π＋2π3＝sin2π3＝321，函数y＝lnx为(0，＋∞)上的增函数，所以lnsin2012π3＝ln32ln1＝0；因为11213，而函数y＝log13x为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log131c＝log1312log1313＝1.所以b0c1a，故选B.1．函数y＝1－lgx