高中数学第1讲(必修1)集合的概念及其运算

第1讲集合的概念及运算知识体系•理解集合、子集、真子集、交集、并集、补集的概念，了解全集、空集、属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，能使用韦恩图表达集合的关系及运算.-1若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾;若a2=1，则a=-1或a=1(舍去),故a=-1符合题意.1.已知集合A={0,a,a2},且1∈A,则a=2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5},T={3,6},则U(S∪T)等于.S∪T={1,3,5,6},U(S∪T)={2,4,7,8}.{2,4,7,8}3.若A、B为两个集合，A∪B=B,则一定有()A4.如图所示，设U为全集，M、N是U的两个子集，则图中阴影部分表示的集合是.A.ABB.BAC.A∩B=D.A=BM∩(UN)图中阴影部分是表示在M中且不在N中的部分，故可表示为M∩(UN).5.设A={y|y=x2+1,x∈R},B={x|y=x-3},则A∩B=.［1,+∞)因为A={y|y=x2+1,x∈R}=［1,+∞),B={x|y=x-3}=(-∞,+∞),故A∩B=［1,+∞).知识要点知识要点1.集合的有关概念(1)一般的，某些指定的对象集中在一起就构成了一个集合，集合中的每个对象叫这个集合的元素.(2)元素与集合的关系有两种：①,②.属于“∈”(3)集合中元素的性质：③.(4)集合的表示法：④；(5)集合的分类：按元素个数可分为⑤.确定性、互异性、无序性列举法、描述法、韦恩图法空集、有限集、无限集；定义性质与说明子集如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记为AB(或BA).AA;A;若AB,BC,则AC;有n个元素的集合的子集的个数是⑥.(6)两个集合A与B之间的关系：2n定义性质与说明真子集如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记为AB(或BA).空集是任何非空集合的真子集；若AB,BC,则AC;有n个元素的集合的真子集的个数是⑦.集合相等对于两个集合A与B，若AB且BA，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.2n-1•(7)常用数集的记法：数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数记法NN*ZQRC2.集合的运算及运算性质定义性质与说明交集由所有属于集合A⑧属于集合B的元素所组成的集合，叫A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=⑨.A∩A=AA∩=A∩B=B∩A且{x|x∈A且x∈B}定义性质与说明并集由属于集合A⑩属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=.A∪A=AA∪=AA∪B=B∪A补集设全集为U，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合叫A在U中的补集，记作UA，即UA=A∪UA=UA∩UA=U（UA）=A1112或{x|x∈A或x∈B}{x|x∈U且xA}要点指南要点指南要点指南要点指南•①属于“∈性、互异性、无序性；④列举法、描述法、韦恩图法；⑤空集、有限集、无限集；⑥2n;⑦2n-1;⑧且；⑨{x|x∈A且x∈B};⑩或;{x|x∈A或x∈B};•{x|x∈U且xA}1112典例精讲典例精讲题型一集合的概念例1(1)下面四个命题中，正确的有.①{0}=；②0∈；{}；∈{}.③④(2)若A={(x,y)||x+2|+=0}，B={-2,-1}，则必有()A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=1yD是空集的符号，元素的集合，规定空集是任何集合的子集.本例应从概念入手.（1）{0}表示含有一个元素0的集合，{0}≠；0，0∈；{}，故正确的命题有③④.（2）因为A={(-2,-1)}，表示点集，B={-2,-1}，为数集，两个集合不可能有公共部分，故选D.分析分析点评点评（1），然而在不同的问题背景下，其含意却是十分具体的，，利用此特征才能找到解题的突破口.（2）解集合问题，首先是读懂集合语言，把握元素的特征.本题第(2)问许多同学易错选C，错因是未能正确理解集合的概念，误认为A={-2,-1}.（1）集合P={y|y=x2}，Q={y|x2+y2=2}，则P∩Q等于()题型二集合的运算例2A.{1}B.{(1,1),(-1,1)}C.{0,}D.[0,]2D2（2）设I为全集，S1,S2,S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是()A.IS1∩(S2∪S3)B.S1(IS2∩IS3)CIS1∩IS2∩IS3=D.S1(IS2∪IS3)C集合的运算→优先化简→数形结合，按交、并、补、子集概念依次进行.分析分析（2）（方法一）利用韦恩图分析，可知选C.（方法二）取I={1,2,3,4.5},S1={1,2,3},S2={2,3,4},S3={3,4.5},检验知只有C成立.故选C.（1）因为P=[0,+∞)，Q=[，]，所以P∩Q=[0,]，故选D.222(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解题的突破口.(2)解决集合问题，常用韦恩图直观地表示.(3)理解补集的意义：UI指在全集U中但不在集合A中的元素组成的集合.点评点评变式变式变式已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.分析分析N∩M=NNM，根据子集的概念，集合N可以是空集，所以要对a的值进行分类讨论.•由x2+x-6=0，得x=2或x=-3,•所以M={2,-3}.•N∩M=NNM.•(ⅰ)当a=0时，N=，此时NM；•（ⅱ）当a≠0时，N={}.•由NM，得或即或•故所求实数a的值为0或或.解析1a12a1-3,a12a1-.3a1213•(1).•(2)常见的等价结论：①A∩B=AAB;•②A∪B=BAB;③U(A∩B)=UA∪•UB;④U（A∪B）=UA∩UB.•(3)空集的性质：A,A(A≠),∪A=A,∩A=.点评题型三集合的创新与应用（1）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1,2}，B={0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()例3A.0B.2C.3D.6D解析解析（1）因为z=xy，x∈{1,2}，y∈{0,2}，故xy=0,2,4，从而A*B={0,2,4}，故集合A*B的所有元素之和为6.故选D.（2）该班学生参加竞赛如图所示，集合A、B、C、D、E、F、F中的任何两个无公共元素，其中G表示三科都参加的学生集合，card(G)=2.因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以card(D)=12-2=10.同理，得card(E)=6-2=4，card(F)=5-2=3.又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21,17,10.所以card(A)=21-2-10-4=5，card(B)=17-2-10-3=2，card(C)=10-3-2-4=1.故需预定火车票的张数为5+2+1+10+4+3+2=27.本题是属于创新型的概念理解题.准确理解A*B是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合的含义，明确题目所要解决的问题，从而使问题得以解决.点评方法提炼方法提炼1.读懂集合语言、把握元素的特征是分析解决集合问题的前提.2.化简集合（具体化、一般化、特殊化）是解集合问题的策略.3.注意集合元素的三要素（尤其是互异性）、不忘空集是解集合问题与防止出错的诀窍.4.数形结合、分类讨论、补集思想、转换化归是解集合问题能力的具体体现.课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋