行胜于言1题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2015安徽高考)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,B都是锐角,a=6,b=5,sinB=12.(1)求sinA和cosC的值;(2)设函数f(x)=sin(x+2A),求f(π2)的值.3.(2015山东青岛一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知𝑎+𝑏sin(𝐴+𝐵)=𝑎-𝑐sin𝐴-sin𝐵,b=3.(1)求角B;(2)若sinA=√33,求△ABC的面积.行胜于言24.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(-π3,0).(1)求实数a的值;(2)设g(x)=[f(x)]2-2,求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间.5.已知函数f(x)=√3acos2𝜔𝑥2+12asinωx-√32a(ω0,a0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=8√35,且x0∈(-103,23),求f(x0+1)的值.行胜于言36.(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),x∈(0,π2).(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.参考答案1.解:设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10.又由正弦定理,得sinB=𝑏sin∠𝐵𝐴𝐶𝑎=33√10=√1010,由题设知0Bπ4,所以cosB=√1-sin2𝐵=√1-110=3√1010.在△ABD中,由正弦定理,得AD=𝐴𝐵·sin𝐵sin(π-2𝐵)=6sin𝐵2sin𝐵cos𝐵=3cos𝐵=√10.2.解:(1)由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinA=𝑎sin𝐵𝑏=35.∵A,B是锐角,∴cosA=√1-sin2𝐴=45,cosB=√1-sin2𝐵=√32,由C=π-(A+B),得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-45×√32+35×12=3-4√310.(2)由(1)知cosA=45,∴f(π2)=sin(π2+2𝐴)=cos2A=2cos2A-1=2×(45)2-1=725.3.解:(1)∵𝑎+𝑏sin(𝐴+𝐵)=𝑎-𝑐sin𝐴-sin𝐵,∴𝑎+𝑏𝑐=𝑎-𝑐𝑎-𝑏,∴a2-b2=ac-c2,∴cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑐2𝑎𝑐=12.∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由b=3,sinA=√33,𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得a=2,由ab,得AB,从而cosA=√63,则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√3+3√26,故△ABC的面积为S=12absinC=√3+3√22.4.解:(1)因为函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点(-π3,0),所以f(-π3)=0.即sin(-π3)+acos(-π3)=0.行胜于言4即-√32+𝑎2=0.解得a=√3.(2)由(1)得f(x)=sinx+√3cosx.所以g(x)=[f(x)]2-2=(sinx+√3cosx)2-2=sin2x+2√3sinxcosx+3cos2x-2=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2𝑥+12cos2𝑥)=2(sin2𝑥cosπ6+cos2𝑥sinπ6)=2sin(2𝑥+π6).所以g(x)的最小正周期为2π2=π.因为函数y=sinx的单调递增区间为[2𝑘π-π2,2𝑘π+π2](k∈Z),所以当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)时,函数g(x)单调递增,即当kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,函数g(x)单调递增.所以函数g(x)的单调递增区间为[𝑘π-π3,𝑘π+π6](k∈Z).5.解:(1)由已知可得f(x)=a(√32cos𝜔𝑥+12sin𝜔𝑥)=asin(𝜔𝑥+π3).∵BC=𝑇2=4,∴T=8,∴ω=2π8=π4.由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=√32BC=2√3.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(π4𝑥0+π3)=8√35,即sin(π4𝑥0+π3)=45.∵x0∈(-103,23),∴π4x0+π3∈(-π2,π2),∴cos(π4𝑥0+π3)=√1-(45)2=35,∴f(x0+1)=2√3sin(π4𝑥0+π4+π3)=2√3sin[(π4𝑥0+π3)+π4]=2√3[sin(π4𝑥0+π3)cosπ4+cos(π4𝑥0+π3)sinπ4]=2√3(45×√22+35×√22)=7√65.6.解:(1)∵m=(√22,-√22),n=(sinx,cosx),且m⊥n,∴m·n=(√22,-√22)·(sinx,cosx)=√22sinx-√22cosx=sin(𝑥-π4)=0.又x∈(0,π2),∴x-π4∈(-π4,π4).∴x-π4=0,即x=π4.∴tanx=tanπ4=1.(2)由(1)和已知,得cosπ3=𝑚·𝑛|𝑚|·|𝑛|=sin(𝑥-π4)√(√22)2+(-√22)2·√sin2𝑥+cos2𝑥=sin(𝑥-π4)=12.又x-π4∈(-π4,π4),∴x-π4=π6,即x=5π12.
本文标题:三角函数
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