三角函数的图象与性质

行胜于言1专题能力训练9三角函数的图象与性质能力突破训练1.对于函数y=sin(2𝑥-π6),下列说法正确的是()A.函数图象关于点(π3,0)对称B.函数图象关于直线x=5π6对称C.将它的图象向左平移π6个单位,得到y=sin2x的图象D.将它的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(𝑥-π6)的图象2.(2015陕西高考)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6𝑥+𝜑)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.103.(2015山东滨州一模)若函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在[-π4,0]上为减函数,则θ的一个值为()A.-π3B.-π6C.5π6D.2π34.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f(π8+𝑡)=f(π8-𝑡),且f(π8)=-3,则实数m的值等于()A.-1B.±5C.-5或-1D.5或15.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2)的图象关于直线x=π3对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.(π3,1)B.(π12,0)C.(5π12,0)D.(-π12,0)6.将函数y=2sin(𝜔𝑥-π4)(ω0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后,所得的两个图象对称轴重合,则ω的最小值为.7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(√3,2sinx)⊗(cosx,cos2x)的图象向左平移n(n0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2)的部分图象如图所示,则f(x)=.9.(2015湖北孝感检测)已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)10.已知函数f(x)=sin(2𝜔𝑥-π6)-4sin2ωx+2(ω0),其图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.行胜于言2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位得到函数g(x)的图象恰好经过点(-π3,0),求当m取得最小值时,g(x)在[-π6,7π12]上的单调递增区间.11.(2015天津高考)已知函数f(x)=sin2x-sin2(𝑥-π6),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值.思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.√3C.-√3D.-2行胜于言313.已知函数f(x)=sin(2𝜔𝑥+π3)的相邻两条对称轴之间的距离为π4,将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)的图象,若g(x)+k=0在x∈[0,π2]有且只有一个实数根,则k的取值范围是()A.k≤12B.-1≤k-12C.-12k≤12D.-12k≤12或k=-114.函数y=11-𝑥的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=√2(sinx+cosx);③f(x)=sinx;④f(x)=√2sinx+√2.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.(2015福建高考)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=2𝑚25-1.参考答案能力突破训练1.B解析:将x=π3代入y=sin(2𝑥-π6),得y=sinπ2=1,故A错.将x=5π6代入y=sin(2𝑥-π6),得y=sin3π2=-1,所以(5π6,-1)是函数最小值点,即函数图象关于直线x=5π6对称,故B正确.将函数y=sin(2𝑥-π6)的图象向左平移π6个单位,得y=sin(2𝑥+π6)的图象,故C错.将函数y=sin(2𝑥-π6)的图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(4𝑥-π6)的图象,故D错.行胜于言42.C解析:因为sin(π6𝑥+𝜑)∈[-1,1],所以函数y=3sin(π6𝑥+𝜑)+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.3.C解析:由已知得f(x)=2sin(2𝑥+π6+𝜃),因为f(x)为奇函数,所以π6+θ=kπ(k∈Z),排除A,D.又函数f(x)在[-π4,0]上为减函数,排除B.故选C.4.C解析:依题意,得函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,于是当x=π8时,函数f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故选C.5.B解析:由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=π3对称,得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z).∵|φ|π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin(2𝑥-π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),则x=π12+𝑘2π(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0).故选B.6.2解析:将函数y=2sin(𝜔𝑥-π4)(ω0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位,分别得函数y=2sin[𝜔(𝑥+π4)-π4]=2sin[𝜔𝑥+π4(𝜔-1)]和y=2sin[𝜔𝑥-π4(𝜔+1)]的图象.∵所得的两个图象对称轴重合,∴ωx+π4(ω-1)=ωx-π4(ω+1)+kπ,k∈Z.解得ω=2k,k∈Z.∵ω0,∴ω的最小值为2.7.5π12解析:f(x)=√3cos2x-2sinxcosx=√3cos2x-sin2x=2cos(2𝑥+π6),将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos[2(𝑥+𝑛)+π6]=2cos(2𝑥+2𝑛+π6),要使它为偶函数,则需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=𝑘π2−π12(k∈Z).因为n0,所以当k=1时,n有最小值5π12.8.√2sin(π8𝑥+π4)解析:由题意得A=√2,函数的周期为T=16.∵T=2π𝜔,∴ω=π8,此时f(x)=√2sin(π8𝑥+𝜑).由f(2)=√2,即sin(π8×2+𝜑)=sin(π4+𝜑)=1,则π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π4,k∈Z.∵|φ|π2,∴φ=π4,∴函数的解析式为f(x)=√2sin(π8𝑥+π4).9.x=-π3(答案不唯一)解析:将点(π3,0)代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-√3.g(x)=-√3sinxcosx+sin2x=-√32sin2x+12−12cos2x=12-sin(2𝑥+π6),令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=𝑘π2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.10.解:(1)由已知f(x)=√32sin2ωx-12cos2ωx-4×1-cos2𝜔𝑥2+2=√32sin2ωx+32cos2ωx=√3sin(2𝜔𝑥+π3).由已知函数f(x)的周期T=π,得2π2𝜔=π,∴ω=1,∴f(x)=√3sin(2𝑥+π3).(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位得到g(x)的图象,行胜于言5则g(x)=√3sin(2𝑥+2𝑚+π3).∵g(x)经过点(-π3,0),∴√3sin[2(-π3)+2𝑚+π3]=0,即sin(2𝑚-π3)=0.∴2m-π3=kπ(k∈Z),解得m=𝑘2π+π6(k∈Z).∵m0,∴当k=0时,m取得最小值,此时最小值为π6.此时,g(x)=√3sin(2𝑥+2π3).若-π6≤x≤7π12,则π3≤2x+2π3≤11π6,当π3≤2x+2π3≤π2,即-π6≤x≤-π12时,g(x)单调递增;当3π2≤2x+2π3≤11π6,即5π12≤x≤7π12时,g(x)单调递增.∴g(x)在[-π6,7π12]上的单调递增区间为[-π6,-π12]和[5π12,7π12].11.解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2𝑥2−1-cos(2𝑥-π3)2=12(12cos2𝑥+√32sin2𝑥)−12cos2x=√34sin2x-14cos2x=12sin(2𝑥-π6).所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间[-π3,-π6]上是减函数,在区间[-π6,π4]上是增函数,f(-π3)=-14,f(-π6)=-12,f(π4)=√34.所以f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值为√34,最小值为-12.思维提升训练12.A解析:设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以√(𝑇2)2+42=5,解得T=6.所以ω=2π𝑇=π3.又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+π6或φ=2kπ+5π6(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.所以f(x)=2sin(π3𝑥+π6)或f(x)=2sin(π3𝑥+5π6).对于函数f(x)=2sin(π3𝑥+π6),当x略微大于0时,有f(x)2sinπ6=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin(π3𝑥+5π6).故f(-1)=2sin(-π3+5π6)=2.13.D解析:因为函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π4,结合三角函数的图象可知𝑇2=π4.又T=2π2𝜔=π𝜔,所以ω=2,f(x)=sin(4𝑥+π3).将函数f(x)的图象向右平移π8个单位得到函数f(x)=sin[4(𝑥-π8)+π3]=sin(4𝑥-π6)的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)=sin(2𝑥-π6)的图象.所以方程为sin(2𝑥-π6)+k=0.令2x-π6=t,因为x∈[0,π2],所以-π6≤t≤5π6.行胜于言6若g(x)+k=0在x∈[0,π2]上有且只有一个实数根,即g(t)=sint的图象与直线y=-k在[-π6,5π6]上有且只有一个交点,如图所示,由正弦函数的图象可知-12≤-k12或-k=1,即-12k≤12或k=-1.14.D解析:函数y1=11-𝑥,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1x≤4时,y10,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在(1,32)和(52,72)上是减函数;在(32,52)和(72,4)上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8.15.①④解析:首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=√2sin(𝑥+π4),②f(x)=2sin(𝑥+π4),③f(x)=sinx,④f(x)=√2sinx+√2.可知③f(x)=sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数;同