正弦函数的图像与性质

三角函数的图像与性质第1页，共16页一、正弦函数的图像与性质正弦函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称轴、对称中心）及其应用．二、余弦函数、正切函数的图像与性质三角函数的图像与性质知识点三角函数的图像与性质第2页，共16页前言1前言2前言2例题前言1三角函数的图像与性质第3页，共16页一、填空题1、函数()sin(),(,,fxAwxAw是常数，)0,0wA的部分图象如图所示，则(0)____f【答案】62【解析】由图象知：函数()sin()fxAwx的周期为74()123，而周期2Tw，所以2w，由五点作图法知：23，解得3，又2A，所以函数()2sin(2)3fxx，所以(0)f62sin32．2、若02，sin24gxx是偶函数，则的值为________．【答案】4【解析】要使sin24gxx为偶函数，则须,,42kkZ4kkZ，，0.24，二、解答题3、求12log2sin1yx定义域31272三角函数的图像与性质第4页，共16页【答案】5{|22,}66xkxkkZ【解析】由2sin10x可知5{|22,}66xkxkkZ4、（2014吉林松原宁江实验中学高一下期中）函数f（x）=sin（2x+φ），（|φ|＜2）向左平移6个单位后是奇函数．（1）求φ（2）函数f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．【答案】（1）φ=-3（2）最小值为sin(-3)=-32，最大值sin(2)=1【解析】（1）函数f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜2)向左平移6个单位后，得到函数为f(x+6)=sin[2(x+6)+φ]=sin(2x+3+φ)，因为此时函数为奇函数，所以3+φ=kπ，k∈Z，所以φ=-3+kπ，k∈Z．因为|φ|＜2，所以当k=0时，φ=-3．（2）由（1）可得f(x)=sin(2x-3)，当0≤x≤2，所以-3≤2x-3≤23，即当2x-3=-3时，函数f(x)=sin(2x-3)有最小值为sin(-3)=-32，当2x-3=2时，函数有最大值sin(2)=1．5、（2014年北京高考文）函数3sin26fxx的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中0x、0y的值；三角函数的图像与性质第5页，共16页（Ⅱ）求fx在区间,212上的最大值和最小值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）fx的最小正周期为π，07π6x，03y．（Ⅱ）因为ππ212x，，所以π5π2066x，．于是当π206x，即π12x时，fx取得最大值0；当ππ262x，即π3x时，fx取得最小值3．6、（2014吉林松原宁江实验中学高一下期中）已知：函数f（x）=2sin（2x-3）（1）求函数的对称中心的坐标，对称轴方程；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．【答案】（1）x=2k+512，k∈z（2）单调递增区间为为：[0，512）和（1112，π]【解析】（1）令2x-3=kπ可解得x=2k+6，2x-3=kπ+2可解得x=2k+512，∴函数图象的对称中心为：(2k+6，0)，k∈Z，三角函数的图像与性质第6页，共16页对称轴方程为：x=2k+512，k∈z；（2）令2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2，解得kπ-12≤x≤kπ+512，k∈Z∴当x∈[0，π]时，函数f（x）的单调递增区间为为：[0，512）和（1112，π]7、已知函数()sin()(00)fxx＞，是R上的偶函数，其图象关于点3M(,0)4对称，且在区间 [0]2，上是单调函数，求和的值．【答案】2，23或2【解析】由()fx是偶函数，得()()fxfx，即sin()sin()xx，所以cossincossinxx对任意x都成立，且0，所以得cos0，依题设0，所以解得2，由()fx的图象关于点M对称，得33()()44fxfx，取0x得33()()44ff，所以3()04f，∵333()sin()cos4424f∴3cos04，又0，得3,0,1,2...42kk当0k时，23，2()sin()32fxx在 [0]2，上是减函数；当1k时，2，()sin(2)2fxx在 [0]2，上是减函数；当2k时，103，()sin()2fxx在 [0]2，上不是单调函数所以，综合得23或2．8、当方程224sin4sin20xxkk有解时，求k的取值范围．【答案】23k【解析】三角函数的图像与性质第7页，共16页1sin1x，令22442,11ftttkkt则0ft有解．则21616201010kkforf23k9、求函数2coscos2yxx的最大值及相应的x的值．【答案】2()3xkkZ时，max94y【解析】令219cos,()24txyt，当1cos2tx时，得到最大值，即2()3xkkZ时，max94y三、单选题10、（2014吉林松原宁江实验中学高一下期中）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（6）|对x∈R恒成立，且f（2）＜f（π）．则下列结论正确的是（）A．f（1112π）=-1B．f（710）＞f(5)C．f（x）是奇函数D．f（x）的单调递增区间是[kπ-3，kπ+6]（k∈Z）【答案】D【解析】∵f（x）≤|f（6）|对x∈R恒成立，∴2×6+φ=kπ+2⇒φ=kπ+6，k∈Z．∵f（2）＜f（π）⇒sin（π+φ）=-sinφ＜sin（2π+φ）=sinφ⇒sinφ＞0．∴φ=2kπ+6，k∈Z．不妨取φ=6三角函数的图像与性质第8页，共16页f（1112）=sin2π=0，∴A错误；∵f（710）=sin（75+6）=sin4730=-sin1730＜0，f（5）=sin（25+6）=sin1730＞0，∴B错误；∵f（-x）≠-f（x），∴C错误；∵2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2⇒kπ-3≤x≤kπ+6，k∈Z．∴D正确；故选D11、（2006湖南高考文）设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．4D．2【答案】B【解析】设点P是函数f（x）=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为4，则最小正周期为π，故选B．12、将函数()sin()fxx的图像向左平移2个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能．．．等于（）.A．4B．6C．8D．12【答案】B三角函数的图像与性质第9页，共16页【解析】()sinsin24,222fxxxkkkZ13、（2014吉林吉林一中高一下期末）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f（t+3）=f（-t+3），记g（x）=Acos（ωx+φ）-1，则g（3）=（）A．-12B．12C．-1D．1【答案】C【解析】∵对任意实数t，都有f（t+3）=f（-t+3），∴x=3是函数f（x）的对称轴，即ω•3+φ=kπ+2，k∈Z，则g（3）=Acos（ω•3+φ）-1=Acos（kπ+2）-1=-1，k∈Z，故选：C．14、（2008浙江高考理）在同一平面直角坐标系中，函数y=cos(2x+32)（x∈[0，2π]）的图象和直线y=12的交点个数是（）A．0B．1C．2D．4【答案】C三角函数的图像与性质第10页，共16页【解析】原函数可化为：y=cos（2x+32）（x∈[0，2π]）=sin2x，x∈[0，2π]．当x∈[0，2π]时，2x∈[0，π]，其图象如图，与直线y=12的交点个数是2个．故选C．15、下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间,2上为减函数的是（）A．sin2yxB．2cosyxC．cos2xyD．tan()yx【答案】D【解析】A中sin2yx最小正周期是，在3,24上单调递减，在,4上单调递增；B中2cosyx，由于cos2cos2cosxxx对任意x恒成立，故最小正周期是，当,2x时，coscosyxx，单调递增；C中cos2xy最小正周期是2412，在,2上单调递减；D中tantanyxx最小正周期是，在,2上单调递减，故选D．三角函数的图像与性质第11页，共16页1、求函数1sin2log1xy的定义域．【答案】5{|2222+}66xkxkkxk或【解析】为使函数有意义，需满足1sin2log10sin0xx即1sin2sin0xx由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为5{|2222+}66xkxkkxk或2、（2014吉林松原宁江实验中学高一下期中）已知函数f（x）=2sinωx在区间[-3，4]上的最小值是-2，则实数ω的取值范围为____．【答案】(-∞，-2]∪[32，+∞)随堂练习三角函数的图像与性质第12页，共16页【解析】∵函数f（x）=2sinωx在区间[-3，4]上的最小值是-2，∴当ω＞0时，4T≥3，∴ω≥32，当ω＜0时，4T≥4，∴ω≤-2，综上，符合条件的实数ω的取值范围为：(-∞，-2]∪[32，+∞)．故答案为：(-∞，-2]∪[32，+∞)．3、（2006辽宁高考文）函数y=sin(12x+3)的最小正周期是（）A．2B．πC．2πD．4π【答案】D【解析】∵y=sin(12x+3)∴T=212=4π，故选D4、将函数sinyx的图象F向右平移3个单位长度得到图象'F，若'F的一条对称轴是直线4x，则的一个可能取值是（）A．512三角函数的图像与性质第13页，共16页B．512C．1112D．1112【答案】A【解析】平移后'F为sin,3yx5432125、已知函数yfx的定义域为10,4，则函数2cosfx的定义域是_________．【答案】2,33xkk，kZ【解析】210cos4x，所以11cos22x，解得2,33xkk，kZ．6、定义在R上的函数fx满足cosfxx，设0.5af，2bf，3cf，则a，b，c大小关系是_____．【答案】abc【解析】由已知cos0.5cos0.5a，cos2b，cos3c∵00.523且ycosx在0,上单调递减∴abc课后作业三角函数的图像与性质第14页，共16页1、（2006福建高考理）已知函数f（x）=2sinωx