专题29 平面向量的概念与线性运算(解析版)

专题29平面向量的概念与线性运算专题知识梳理1．向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2．向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ0时，λa与a方向相同；当λ0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0．(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量共线定理：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．考点探究考向1向量的基本概念【例】下列命题中，正确的是___________.①abab；②abab；③abab；④00aa.【解析】①向量相等除了模相等还要求方向相同；②向量不能比大小；③正确；④a0.题组训练1.在设a是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：①a与λa的方向相反；②a与λ2a的方向相同；③|－λa|≥|a|；④|－λa|≥|λ|·a.其中正确的是________(填序号)．【解析】对于①，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，②正确；对于③，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于④，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．2.在下列结论中，正确的有____个(1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；(2)若a和b都是单位向量，则a＝b；(3)长度相等的向量是相等向量；(4)相等向量是共线向量．【解析】(1)两个向量相等，他们的起点和终点不需要重合，两个向量相等仅需要方向相同，模长相等即可，故而第一个错误；(2)单位向量是指模长相等，方向不一定相同，所以两个向量不一定相等；(3)长度相等的向量方向不一定相同，所以未必是相等向量；(4)相等向量指的是方向相同，长度相等，因此，相等向量一定是共线向量．3.给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确命题的序号是_________．【解析】①中，∵向量AB→与BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．考向2向量的线性运算【例】(1)如图1所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝__________(用a，b表示)．图1图2(2)如图2，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AD→＋BE→＋CF→＝____．【解析】(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.(2)由题意知：AD→＝FE→，BE→＝DF→，CF→＝ED→，而FE→＋ED→＋DF→＝0，∴AD→＋BE→＋CF→＝0.题组训练1.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为________．【解析】∵AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，∴AB→＝52AE→，AD→＝2AF→.由向量加法的平行四边形法则可知，AC→＝AB→＋AD→，∴AK→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)＝λ52AE→＋2AF→＝52λAE→＋2λAF→，由E，F，K三点共线，可得λ＝29.2.如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值.【解析】设BP→＝kBN→，因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k14AC→－AB→＝(1－k)AB→＋k4AC→，且AP→＝mAB→＋211AC→，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为CO的中点，AB→＋AD→＝λAP→，则λ＝______．【解析】因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，又32APAO，得AB→＋AD→=43AO已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝43.4.在△ABC中，BD→＝2DC→，AD→＝mAB→＋nAC→，则mn＝____．【解析】∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，∴AD→＝13AB→＋23AC→，得m＝13，n＝23.∴mn＝12.5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→(m，n0)，则1m＋4n的最小值为___．【解析】MO→＝AO→－AM→＝AB→＋AC→2－1mAB→＝(12－1m)AB→＋12AC→.同理NO→＝(12－1n)AC→＋12AB→，M，O，N三点共线，故存在实数λ，使得(12－1m)AB→＋12AC→＝λ，即(12－1m－λ2)AB→＋(12－λ2＋λn)AC→＝0，因AB→，AC→不共线，据基本定理得12－1m－λ2＝0且12－λ2＋λn＝0，消掉λ得m＋n＝2，故1m＋4n＝12(m＋n)(1m＋4n)＝12(5＋nm＋4mn)≥12(5＋4)＝92.考向3共线定理的应用【例】如图，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示OM→.【解析】设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.又∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋12b)．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.∴m－1＝－tn＝t2，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C.M.B三点共线，∴CM→与CB→共线．∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴(m－14)a＋nb＝t1(－14a＋b)，∴m－14＝－14t1n＝t1，消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝17，n＝37，∴OM→＝17a＋37b.题组训练1.如图，在平行四边形OADB中，设OA→＝a，OB→＝b，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，试用a，b表示OM→，ON→及MN→.【解析】由题意知，在平行四边形OADB中，BM→＝13BC→＝16BA→＝16(OA→－OB→)＝16(a－b)＝16a－16b，则OM→＝OB→＋BM→＝b＋16a－16b＝16a＋56b.ON→＝23OD→＝23(OA→＋OB→)＝23(a＋b)＝23a＋23b，MN→＝ON→－OM→＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.2.设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．【解析】(1)证明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2＝－12(－8e1－2e2)＝－12CD→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．(2)解AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得3＝2λ，－2＝－λk，解得λ＝32，k＝43.3.如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.【解析】AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b.AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.